Пособие по решению задач с параметрами

Методы решения задач с параметрами, Натяганов В.Л., Лужина Л.М., 2003

Методы решения задач с параметрами, Натяганов В.Л., Лужина Л.М., 2003.

Данное пособие посвящено задачам с параметрами, которые для абсолютного большинства абитуриентов традиционно являются задачами повышенной трудности.

В пособии основное внимание уделено классификации методов, основанных на использовании различных свойств функций (ограниченность, монотонность, периодичность, четность и т.д.), симметрии переменных, применении производной, а также специальных приемов решения задач с параметрами, требующих глубокого знания школьной математики и высокой логической культуры, что подкреплено большим количеством примеров из вариантов вступительных экзаменов в Московский государственный университет за последние 40 лет.

Предисловие
Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ В ЗАДАЧАХ С ПАРАМЕТРАМИ.
1.1. Область допустимых значений параметров и неизвестных.
1.2. Область изменения функции.
1.3. Условия равносильности преобразований.
1.4. Непрерывность и монотонность изменения функций .
1.5. Четность функций и симметричность переменных.
1.6. Задачи для самостоятельного решения.
1.7. Указания и ответы.
Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ГРАФИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ В ЗАДАЧАХ С ПАРАМЕТРАМИ.
2-1. Метод сечений.
2.2. Метод областей.
2.3. Задачи для самостоятельного решения.
2.4. Указания и ответы.
Глава 3. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ.
3.1. Краткая теория квадратного трехчлена.
3-2. Задачи на исследование квадратичной функции.
3.3. Задачи, приводимые к исследованию квадратичной функции.
3.4. Решение относительно параметра .
3.5. Задачи для самостоятельного решения.
3.6. Указания и ответы.
Глава 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
4.1. Краткая теория систем линейных уравнений.
4.2. Задачи на решение систем линейных уравнений.
4.3. Смешанные задачи на линейные системы и квадратный трехчлен.
4.4. Задачи для самостоятельного решения.
4.5. Указания и ответы.
Глава 5. ЭКСТРЕМУМЫ.
5.1. Разные задачи на минимум и максимум.
5.2. Использование производной при решении экстремальных задач.
5.3. Условные экстремумы и изопериметрические задачи.
5.4. Задачи для самостоятельного решения.
5.5. Указания и ответы.
Глава 6. «НЕСТАНДАРТНЫЕ» И «ЛОГИЧЕСКИЕ» ЗАДАЧИ .
6.1. Необходимые и достаточные условия.
6.2. «Хорошая догадка — половина решения!» .
6.3. «Квазиэквивалентность» уравнений и неравенств.
6.4. Логические задачи на использование свойств четности и симметрии .
6.5. Логические задачи на количество решений.
6.6. Задачи для самостоятельного решения.
6.7. Указания и ответы.
Глава 7. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ .
7.1. Параметры в тригонометрических задачах.
7.2. Параметры в логарифмических задачах.
7.3. Задачи на делимость многочленов .
7.4. Задачи с параметрами на множестве комплексных чисел.
7.5. «Совсем разные» задачи.
7.6. Задачи для самостоятельного решения.
7.7. Указания и ответы.
Послесловие с комментарием к наглядному материалу и историко-литературными отступлениями.
Приложение I. КОНКУРСНЫЕ ПРИМЕРЫ С ПАРАМЕТРАМИ КАК АНАЛОГИ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ ЗАДАЧ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ.
Приложение II. ЗАДАЧИ ПОСЛЕДНИХ ЛЕТ.
Указания и ответы.
Литература.


Условия равносильности преобразований.

Как было показано выше, формулировка условий, определяющих ОДЗ, позволяет в большинстве случаев сводить первоначальную задачу с параметрами к равносильной системе уравнений и неравенств. Однако в процессе решения полученной системы не всегда удается ограничиться только равносильными преобразованиями. В ряде случаев возникает необходимость выполнять и неравносильные преобразования, как правило, расширяющие ОЛЗ. При выполнении подобных преобразований среди полученных решений могут оказаться такие, которые не удовлетворяют ОДЗ исходной задачи и, следовательно, будут посторонними.

Эквивалентность перехода в таких случаях можно обеспечить формулировкой дополнительных условий равносильности преобразований (УРП), учет которых наряду с ОДЗ исходной задачи позволяет довести решение до конца.
УРП тесно связаны с понятием равносильности на множестве.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате и читать:

nashol.com

Задачи с параметрами. Ефимов Е.А., Коломиец Л.В.

Учебное пособие для факультета довузовской подготовки СГАУ (Самарский гос. аэрокосмический университет).

Самара, 2006. — 64с.

Учебное пособие предназначено для занятий со слушателями подготовительных курсов факультета довузовской подготовки СГАУ и самостоятельной работы абитуриентов.
В учебное пособие включены все основные типы задач с параметрами, предлагаемых на вступительных экзаменах по математике в СГАУ, на централизованном тестировании и Едином государственном экзамене. Ко всем задачам приведены решения или ответы.

Формат: pdf / zip

Скачать / Download файл

1. Квадратный трехчлен — 5

2. Абсолютная величина — 17

3. Рациональные уравнения и системы — 26

4. Иррациональные уравнения и неравенства — 36

5. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства — 46

6. Тригонометрические уравнения и неравенства — 58

Практика вступительных экзаменов по математике в вузы показывает, что задачи с параметрами представляют для абитуриентов наибольшую сложность. Основная цель пособия повысить математическую подготовку абитуриентов в рамках школьного курса математики.

Спецификой задач с параметрами является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа. Ответ в задачах с параметрами, как правило, имеет развернутый вид: при конкретных значениях параметра ответы могут значительно различаться.

В пособии рассмотрены основные методы и идеи решения задач с параметрами. Разбираемые и предлагаемые для самостоятельного решения задачи подобраны в соответствии с действующими программами вступительных экзаменов по математике. В основном это задачи, предлагавшиеся на конкурсных экзаменах в СГАУ за последние 10 лет, на централизованном тестировании (ЦТ) и Едином государственном экзамене (ЕГЭ).

Пособие охватывает важнейшие темы школьного курса математики: квадратный трехчлен, функции, графики, рациональные и иррациональные уравнения и неравенства, системы уравнений, логарифмические, показательные и тригонометрические уравнения и неравенства. В ряде случаев опущены промежуточные этапы решения, которые абитуриент может восстановить самостоятельно. К задачам для самостоятельного решения приведены ответы.

Значения параметров и искомых величин считаются действительными (вещественными). Кратные корни многочленов считаются одним решением, если речь идет о числе корней (решений). Значения параметров, при которых задача не имеет смысла, включены в число тех значений, при которых задача не имеет решений.
Методические пособие предназначено для изучения методов решения задач с параметрами на подготовительных курсах СГАУ, а также будет полезно учащимся старших классов, самостоятельно готовящихся к конкурсным экзаменам по математике.

О том, как читать книги в форматах pdf , djvu — см. раздел » Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др. «

www.alleng.ru

Пособие по решению задач с параметрами

Данная тема выделена в самостоятельный раздел из раздела Литература по математике для поступающих в вузы(часть I) с целью разгрузить последний и упорядочить информацию в нем. Новые позиции отмечены голубым знаком NEW.

Амелькин В. В., Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами: Справ. пособие по математике.Мн.: ООО «Асар», 2004. — 464 с.; ил.; 3-е изд. доработ. ISBN 985-6711-03-7.
Пособие содержит 727 задач с параметрами и предназначено для углубленного изучения математики в средней школе и для подготовки к конкурсным экзаменам в ВУЗы.
Скачать (divu/rar, 600 dpi, 2,32 Мб)ifolder.ru || mediafire.com

Голубев В.И. Решение сложных и нестандартных задач по математике.— 2007. — 252 с: ил.
Пособие посвящено методам решения задач повышенной сложности по алгебре и началам анализа. Основная часть задач, рассмотренных в книге, взята из вариантов вступительных экзаменов на различные факультеты вузов, предъявляющих высокие требования к знаниям по математике (МГУ, МИРЭА, МФТИ и др.). Основной акцент в этой книге сделан на изложение малоизвестных эффективных технологий решения нестандартных задач, таких, например, как метод трех точек, метод замены множителей, метод минимакса, информация по которым впервые представлена не в периодической печати. Описаны малоизвестные технические приемы, используемые при решении задач для обеспечения высокого темпа продвижения к ответу. Очень много задач с параметром. Главная цель книги состоит в снятии комплекса страха у абитуриентов и учителей при попытках овладения идеями и методами решения нестандартных задач.
Материал книги составляет часть многочисленных лекций автора для школьников и преподавателей в различных регионах страны.
Пособие рассчитано на учителей и учащихся общеобразовательных школ, студентов педагогических вузов, абитуриентов.
Книга предоставлена Robot
Скачать (divu/rar, 600 dpi, 2,73 Мб) Рапида || http://ifolder.ru || mediafire.com

Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. — К.: РИА «Текст»; МП «ОКО», 1992. -290 с.
В книге рассматриваются аналитические, функциональные и графические методы решения задач с параметрами на примере более 700 задач, большинство из которых предлагалось на вступительных экзаменах в ведущие вузы. Материал пособия помимо деления на главы и параграфы разбит на пункты, посвященные определенным типам задач или приемам их решения. Часть задач разбирается очень подробно, при этом демонстрируется подчас несколько методов решения. Ко всем упражнениям приведены ответы.
Для преподавателей математики, студентов педагогических вузов, слушателей подготовительных отделений, абитуриентов, старшеклассников.
Книга предоставлена Robot
Скачать (divu/rar, 600 dpi, 4,34 Мб) Рапида || ifolder.ru || mediafire.com

Дорофеев Г.В. Квадратный трехчлен в задачах. — Львов, журнал Квантор, 1991, № 2. — 104 с.
Содержание: Азбука квадратного трехчлена. Квадратный трехчлен в неявном виде. Коэффициенты, корни и значення квадратного трехчлена. «Запрещенные» корни квадратного трехчлена. Отбор корней квадратного трехчлена на луче. Отбор корней квадратного трехчлена на конечном промежутке. Ответы, указания и решения.
Скачать (divu/rar, 600 dpi+ocr, 1.07 Мб) mediafire || ifolder.ru

Ефимов Е.А., Коломиец Л.В. Задачи с параметрами. Учебное пособие для факультета довузовской подготовки СГАУ. — Самара, 2006. — 64с.
Учебное пособие предназначено для занятий со слушателями подготовительных курсов факультета довузовской подготовки СГАУ и самостоятельной работы абитуриентов.
В учебное пособие включены все основные типы задач с параметрами, предлагаемых на вступительных экзаменах по математике в СГАУ, на централизованном тестировании и Едином государственном экзамене. Ко всем задачам приведены решения или ответы.
Скачать (340 кб) ifolder.ru || mediafire.com

Козко А.И., Чирский В.Г. Задачи с параметром и другие сложные задачи. — М., МЦНМО, 2007. — 296с.
Книга посвящена решению задач с параметрами. Помимо стандартных сведений в ней приведены оригинальные методы и приемы решения различных сложных задач. Кроме того, в книге рассмотрены задачи, связанные с методом математической индукции, и задачи по стереометрии. Большинство разбираемых авторами задач взято из вариантов вступительных экзаменов в МГУ.
Во второй части книги приведены варианты вступительных экзаменов 2003-2006 гг.
Для учащихся старших классов, преподавателей математики и абитуриентов.
Скачать 1,50 Мб ifolder.ru ||mediafire.com

Козко А. И., Панферов В. С, Сергеев И. Н., Чирский В. Г. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С5. Задачи с параметром / Под ред. А. Л. Семенова и И. В.Ященко. — М.: МЦНМО, 2011.-144 с. ISBN 978-5-94057-667-9
Скачать (1.00 Мб, djvu/rar,600dpi+OCR) ifolder.ru || mediafire.com>

Корянов А.Г. Математика ЕГЭ 2010. Задания С5. — 71 с.
Сборник задач с ответами, указаниями и решениями. Представлены аналитические и функционально-графические методы
Скачать (pdf, 1,3 mb) сайт Ларина А.А.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011(типовые задания С5) Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
Скачать пособие

eek.diary.ru

Решение задач с параметрами как средство формирования исследовательских умений учащихся

Аннотация. Статья посвящена вопросам развития исследовательских умений учащихся в процессе решения математических задач с параметрами.
Ключевый слова: задачи с параметрами, учебно-исследовательская деятельность, исследовательские умения

В материалах ЕГЭ регулярно содержатся задачи с параметром, которые часто присутствовали на вступительных экзаменах в вуз с высокими требованиями к математической подготовке абитуриентов. Контрольно-измерительные материалы для единого государственного экзамена создаются на основе кодификаторов элементов содержания и требований к уровню подготовки выпускников. Решение данных задач с одной стороны, относятся к элементам содержания «Уметь решать уравнения и неравенства», а с другой стороны, требуют определенного уровня сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезы, оценивать результаты. Таким образом, решение задач с параметром можно считать деятельностью, близкой по своему характеру к исследовательской, а формирование указанной компетенции является одним из важных метапредметных результатов, реализуемого в рамках внедрения и апробации ФГОС среднего (полного) образования. В связи с этим, с одной стороны, решение задач с параметрами важно использовать для развития математического мышления.

С другой стороны, школьники относят задачи с параметрами к самому сложному материалу, объясняя это несколькими причинами: трудность в выборе способа решения, отслеживания возникающих «ветвлений», исследования всех вариантов решений. Результаты выполнения выпускниками в 2012 и 2014 году задания С5 показали, что более 80% выпускников даже не приступали к выполнению задания[1]. В таблице 1 представлено процентное соотношение выпускников, набравших соответствующее количество баллов.

Общие результаты выполнения задания С5.

Кроме того, зачастую, учителя даже не рассматривают такие задачи с учениками, считая их заданиями повышенного уровня сложности, с которыми слабые ученики априори не смогут справиться.

Аналогичное положение задач с параметрами в учебно-методических комплектах по математике, утвержденных или рекомендованных к использованию в общеобразовательной школе Министерством образования и науки РФ: их количество в любом из общефедеральных комплектов не превосходит 1%.

Мирошин В.В. [2] выделяет отдельную часть математики – «абитуриентскую», которая существует отдельно от школьной программы. Действительно, задачам с параметрами посвящены множество сборников для поступающих в вузы, в которых рассмотрены разнообразные приемы и методы решения. Однако педагоги сталкиваются с серьезными методическими проблемами при обучении решению таких задач, по причине того, что в большинстве этих пособий не учат, как выбрать тот или иной способ решения, как научиться решать эти задачи.

Если же рассматривать решение задач с параметрами не как самоцель, а как средство развития активной творческой деятельности учащегося, его системного мышления, то целесообразно организовать учебно-исследовательскую деятельность, в ходе которой ученик развивает умения самостоятельно приобретать и применять знания, формулировать и аргументировать позицию. Учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешнее справляются (и опыт это подтверждает) [2] с другими задачами, поэтому в школьной математике таким задачам должно уделяться большое внимание.

Известный петербургский педагог В.И. Рыжик отмечает, что многолетняя ориентация на ЗУНы привела к тому, что основное внимание в школе уделяется учебной деятельности, в рамках которой, основным занятием стало усвоение алгоритмов и алгоритмических предписаний[3]. Уравнения (неравенства) с параметрами относятся к иному типу задач – задач, для решения которых необходимо прежде всего, умение проводить довольно разветвленные – логические построения и исследования. В теории обучения математике разработаны методические основы исследовательских задач, которые позволяют сравнить структуру типовой и исследовательской задачи [4,5]. На рис. 1 показано, что рассматриваемые в статье задачи обладают всеми признаками исследовательской задачи.

Проанализировав и обобщив ряд исследований[4,5,6,7,8], необходимо выделить общие положения в определениях учебно-исследовательской деятельности: вид познавательной деятельности, цель которой не научные открытия учащихся, а развитие у них соответствующих личностных качеств, умений исследования как универсального способа освоения действительности. При этом учебно-исследовательская деятельность имеет определенные структурные компоненты, характерные для научного исследования: выделение (уточнение проблемы), организация и анализ данных, выдвижение и проверка гипотезы, формулировка выводов. Рассмотрим основные этапы учебного исследования на простой задаче о линейных функциях.

Основные этапы учебного исследования

№ п/п

Основные этапы учебного исследования на примере задачи с параметром линейной функции

e-koncept.ru

Урок по теме «Методы решения задач с параметрами»

Разделы: Математика

Цель данной работы – изучение различных способов решения задач с параметрами. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений, уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность. Для развития этих навыков необходимы длительнее усилия, именно поэтому в профильных 10-11 классах с углубленным изучением точных наук введен курс: “Математический практикум”, частью которого является решение уравнений и неравенств с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана школы.

Успешному изучению методов решения задач с параметрами могут помочь элективный или факультативный курсы, или компонент за сеткой по теме: “Задачи с параметрами”.

Рассмотрим четыре больших класса задач с параметрами:

  1. Уравнения, неравенства и их системы, которые необходимо решить для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих определенному множеству.
  2. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.
  3. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения (системы, неравенства) имеют заданное число решений.
  4. Уравнения, неравенства и их системы, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Методы решений задач с параметрами.

1. Аналитический метод.

Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Пример 1. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение:

(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не более одного корня.

При 2a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a =1/2 разбираем отдельно.

Если a = 1/2, то уравнение принимает вид 1/2x – 2 = 0, оно имеет один корень.

Если a ≠ 1/2 , то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не более одного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неположителен:

Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять,

2. Графический метод.

В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики в координатной плоскости (x;y) или в плоскости (x;a).

Пример 2. Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения .

Заметим, что количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций и y = a.

График функции показан на рис.1.

y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).

Ответ: при a 25/4 – два решения.

3. Метод решения относительно параметра.

При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному смыслу переменных х и а и закончить решение.

Пример 3. Найти все значения параметра а , при каждом из которых уравнение = —ax +3a +2 имеет единственное решение.

Будем решать это уравнение заменой переменных. Пусть = t , t ≥ 0 , тогда x = t 2 + 8 и уравнение примет вид at 2 + t + 5a – 2 = 0 . Теперь задача состоит в том, чтобы найти все а, при которых уравнение at 2 + t + 5a – 2 = 0 имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место в следующих случаях.

1) Если а = 0, то уравнение имеет единственное решение t = 2.

Решение некоторых типов уравнений и неравенств с параметрами.

Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в приобретении навыков исследовательской деятельности.

Решение каждой задачи своеобразно и требует к себе индивидуального, нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа решения таких задач.

Задача № 1. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней?

Ⅱ . Степенные уравнения, неравенства и их системы.

Задача №2. Найти все значения параметра a, при которых множество решений неравенства:

содержит число 6, а также содержит два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.

.

Преобразуем обе части неравенства.

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало число 6, необходимо и достаточно выполнение условия:

Рис.4

При a > 6 множество решений неравенства: .

Интервал (0;5) не может содержать ни одного отрезка длины 6. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 должны содержаться в интервале (5; a).

Это

Ⅲ . Показательные уравнения, неравенства и системы.

Задача № 3. В области определения функции взяли все целые положительные числа и сложили их. Найти все значения, при которых такая сумма будет больше 5, но меньше 10.

1) Графиком дробно-линейной функции является гипербола. По условию x > 0. При неограниченном возрастании х дробь монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z возрастают и приближаются к 5. Кроме того, z(0) = 1.

2) По определению степени область определения D(y) состоит из решений неравенства . При a = 1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция у нигде не определена.

3) При 0 0 , то z(x) > z(0) = 1 . Значит, каждое положительное значение х является решением неравенства . Поэтому для таких а указанную в условии сумму нельзя найти.

4) При a > 1 показательная функция с основанием а возрастает и неравенство равносильно неравенству . Если a ≥ 5 , то любое положительное число является его решением, и указанную в условии сумму нельзя найти. Если 1

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Смотрите еще:

  • Приказ об условно переведенным Средняя общеобразовательная школа №8 с углубленным изучением отдельных предметов имени Героя Советского Союза А.И. Маркова ПОЛОЖЕНИЕ об условном переводе учащихся, имеющих академическую задолжность Муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения средней общеобразовательной школы №8 с углубленным […]
  • Афк учебное пособие Частные методики адаптивной физической культуры - Л. В. Шапкова - Учебное пособие Год выпуска: 2003 Автор: Л. В. Шапкова Жанр: Лечебная физкультура Формат: PDF Качество: Отсканированные страницы Глава 1. Базовые концепции частных методик адаптивной физической культуры (Л.В. Шапкова) 1.1. […]
  • Учебник александров налоги Налоги и налогообложение, Учебник, Александров И.М., 2009 Налоги и налогообложение, Учебник, Александров И.М., 2009. Учебник, написанный в соответствии с Государственным образовательным стандартом, утвержденным Министерством образования и науки РФ, содержит критический анализ налогов и налоговой системы […]
  • Должность доцента стаж При определении научной специальности, по которой будет осуществляться представление соискателя к ученому званию, необходимо руководствоваться: а) соответствием направленности читаемых соискателем ученого звания курсов лекций или дисциплин, по которым проводятся иные виды занятий научной специальности; б) […]
  • Преступление в рк Для Казахстана Отчеты по практике Предмет: Уголовное право Тип: Курсовая работа Объем: 29 стр. Понятие и признаки преступления РК Содержание Введение 3 Глава 1. Общая характеристика преступления 5 1.1 Понятие преступления 5 1.2 Признаки преступления 6 1.3 Классификация преступлений 10 Глава 2. Объект […]
  • Правила пожарной безопасность для школьников Охрана труда и техника безопасности в школе Инструкция по правилам пожарной безопасности в школе для учащихся 1. Общие положения правил пожарной безопасности в школе 1.1. Данная инструкция по правилам пожарной безопасности в школе разработана для учащихся при их пребывании в школе с целью предотвращения […]
  • Учебные пособия по ксе Карпенков С. Концепции современного естествознания: Учебник для вузов ОГЛАВЛЕНИЕ Введение.. 4 ЧАСТЬ I. ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ И СОВРЕМЕННЫЙ МИР.. 6 Глава I. ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ И ОКРУЖАЮЩИЙ МИР 6 1.1. Роль естествознания в формировании профессиональных знаний 6 1.2. Естествознание в изменяющемся мире. 10 1.3. […]
  • Роль закона в правовых системах Место и роль закона в правовой системе Российской Федерации [c0968] Оглавление Введение Глава 1. Значение источника права в правовой системе 1.1. Понятие и структура правовой системы Российской Федерации 1.2. Понятие и основные виды формальных источников права Глава 2. Закон как основной источник […]

Комментарии запрещены.