Правило порядок действий со скобками

Порядок действий. Скобки


Порядок действий, определенный для арифметических выражений, распространяется и на другие математические выражения. Ну хоть что-то нашлость то, что является общим для всех разделов математики. Впрочем, я могу ошибаться. Маразм математиков не имеет границ, поскольку любой математик может возвести свой идиотизм в ранг определения и вас заставят это зубрить, ещё и экзамены сдавать будете.

В каком порядке нужно выполнять математические действия? Давайте запишем это кратко:

1. Возведение в степень (извлечение корня):

1.1 действия в показателе степени (вычисление подкоренного выражения);

1.2 возведение в степень (извлечение корня).

2. Умножение, деление. Для дробных выражений:

2.1 действия в числителе и знаменателе;

2.2 деление числителя на знаменатель.

3. Сложение, вычитание.

Несколько действий сложения и вычитания, а также несколько действий умножения и деления выполняются в том порядке, в котором они записаны. Это правило написано для того, чтоб не запутаться. На самом деле, результат не зависит от того, в каком порядке вы будете складывать и вычитать или умножать и делить. Можете сами проверить на любом примере. Главное — действия или числа не перепутать.

Математические выражения заключают последовательно в круглые (. ), квадратные [. (. ). ] и фигурные <. [. (. ). ]. >скобки; действия над числами выполняются последовательно: вначале в круглых, затем в квадратных и, наконец, в фигурных скобках. Теперь это же, но кратки:

1. Действия в скобках:

1.1 внутренние скобки;

1.2 остальные скобки:

2. Остальные действия.

Вот, как-то так. Что ещё можно сказать о скобках? Скобки, как конверты, никогда не пересекаются. Вы никогда в математике не встретите такого выражения (. [. ). ]. Впрочем, чем математик не шутит, пока ученик спит.

Степень и извлечение корня

Знак извлечения корня рассматривается как запись с помощью скобок. При возведении в степень сначала выполняются действия, указанные в показателе степени. Почему извлечение корня приравнивается к скобкам, а не к показателю степени? Потому, что засовывать корень в подкоренное выражение — любимое занятие садистов от математики. С показателями степени проще — разбираем по порядку всё, что сверху нахлобучено.

Правила выполнения действий

Правила выполнения математических действий написаны людьми и для людей. В принципе, они могут быть любыми. Можно ли без них обойтись? Элементарно. Для этого все математические действия нужно записывать в том порядке, в котором они должны выполняться. Как решение задачи в первом классе. Так зачем придумали правиля выполнения действий? Это позволяет сократить запись математического выражения: вместо двух страниц последовательного перечня, ми имеем одну строчку. Получается компактно и наглядно.

ndspaces.narod.ru

Порядок выполнения действий, правила, примеры.

Числовые,буквенные выражения и выражения с переменными в своей записи могут содержать знаки различных арифметических действий. При преобразовании выражений и вычислении значений выражений действия выполняются в определенной очередности, иными словами, нужно соблюдать порядок выполнения действий.

В этой статье мы разберемся, какие действия следует выполнять сначала, а какие следом за ними. Начнем с самых простых случаев, когда выражение содержит лишь числа или переменные, соединенные знаками плюс, минус, умножить и разделить. Дальше разъясним, какого порядка выполнения действий следует придерживаться в выражениях со скобками. Наконец, рассмотрим, в какой последовательности выполняются действия в выражениях, содержащих степени, корни и другие функции.

Навигация по странице.

Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание

В школе дается следующее правило, определяющее порядок выполнения действий в выражениях без скобок:

  • действия выполняются по порядку слева направо,
  • причем сначала выполняется умножение и деление, а затем – сложение и вычитание.

Озвученное правило воспринимается достаточно естественно. Выполнение действий по порядку слева направо объясняется тем, что у нас принято вести записи слева направо. А то, что умножение и деление выполняется перед сложением и вычитанием объясняется смыслом, который в себе несут эти действия.

Рассмотрим несколько примеров применения этого правила. Для примеров будем брать простейшие числовые выражения, чтобы не отвлекаться на вычисления, а сосредоточиться именно на порядке выполнения действий.

Выполните действия 7−3+6 .

Исходное выражение не содержит скобок, а также оно не содержит умножения и деления. Поэтому нам следует выполнить все действия по порядку слева направо, то есть, сначала мы от 7 отнимаем 3 , получаем 4 , после чего к полученной разности 4 прибавляем 6 , получаем 10 .

Кратко решение можно записать так: 7−3+6=4+6=10 .

Укажите порядок выполнения действий в выражении 6:2·8:3 .

Чтобы ответить на вопрос задачи, обратимся к правилу, указывающему порядок выполнения действий в выражениях без скобок. В исходном выражении содержатся лишь действия умножения и деления, а согласно правилу, их нужно выполнять по порядку слева направо.

сначала 6 делим на 2 , это частное умножаем на 8 , наконец, полученный результат делим на 3.

Вычислите значение выражения 17−5·6:3−2+4:2 .

Сначала определим, в каком порядке следует выполнять действия в исходном выражении. Оно содержит и умножение с делением, и сложение с вычитанием. Сначала слева направо нужно выполнить умножение и деление. Так 5 умножаем на 6 , получаем 30 , это число делим на 3 , получаем 10 . Теперь 4 делим на 2 , получаем 2 . Подставляем в исходное выражение вместо 5·6:3 найденное значение 10 , а вместо 4:2 — значение 2 , имеем 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2 .

В полученном выражении уже нет умножения и деления, поэтому остается по порядку слева направо выполнить оставшиеся действия: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

На первых порах, чтобы не перепутать порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками действий расставить цифры, соответствующие порядку их выполнения. Для предыдущего примера это выглядело бы так: .

Этого же порядка выполнения действий – сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание — следует придерживаться и при работе с буквенными выражениями.

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике встречается разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени. Разберемся с этим.

Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление называют действиями второй ступени.

В этих терминах правило из предыдущего пункта, определяющее порядок выполнения действий, запишется так: если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем – действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

Выражения часто содержат скобки, указывающие порядок выполнения действий. В этом случае правило, задающее порядок выполнения действий в выражениях со скобками, формулируется так: сначала выполняются действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем – сложение и вычитание.

Итак, выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения, и в них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий. Рассмотрим решения примеров для большей ясности.

Выполните указанные действия 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, заключенных в эти скобки. Начнем с выражения 7−2·3 . В нем нужно сначала выполнить умножение, и только потом вычитание, имеем 7−2·3=7−6=1 . Переходим ко второму выражению в скобках 6−4 . Здесь лишь одно действие – вычитание, выполняем его 6−4=2 .

Подставляем полученные значения в исходное выражение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2 . В полученном выражении сначала выполняем слева направо умножение и деление, затем – вычитание, получаем 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6 . На этом все действия выполнены, мы придерживались такого порядка их выполнения: 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Запишем краткое решение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6 .

Бывает, что выражение содержит скобки в скобках. Этого бояться не стоит, нужно лишь последовательно применять озвученное правило выполнения действий в выражениях со скобками. Покажем решение примера.

Выполните действия в выражении 4+(3+1+4·(2+3)) .

Это выражение со скобками, это означает, что выполнение действий нужно начинать с выражения в скобках, то есть, с 3+1+4·(2+3) . Это выражение также содержит скобки, поэтому нужно сначала выполнить действия в них. Сделаем это: 2+3=5 . Подставив найденное значение, получаем 3+1+4·5 . В этом выражении сначала выполняем умножение, затем – сложение, имеем 3+1+4·5=3+1+20=24 . Исходное значение, после подстановки этого значения, принимает вид 4+24 , и остается лишь закончить выполнение действий: 4+24=28 .

Вообще, когда в выражении присутствуют скобки в скобках, то часто бывает удобно выполнение действий начинать с внутренних скобок и продвигаться к внешним.

Например, пусть нам нужно выполнить действия в выражении (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Сначала выполняем действия во внутренних скобках, так как 4−6:2=4−3=1 , то после этого исходное выражение примет вид (4+(4+1)−1)−1 . Опять выполняем действие во внутренних скобках, так как 4+1=5 , то приходим к следующему выражению (4+5−1)−1 . Опять выполняем действия в скобках: 4+5−1=8 , при этом приходим к разности 8−1 , которая равна 7 .

Порядок выполнения действий в выражениях с корнями, степенями, логарифмами и другими функциями

Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции, то их значения вычисляются до выполнения остальных действий, при этом также учитываются правила из предыдущих пунктов, задающие порядок выполнения действий. Иными словами, перечисленные вещи, грубо говоря, можно считать заключенными в скобки, а мы знаем, что сначала выполняются действия в скобках.

Рассмотрим решения примеров.

Выполните действия в выражении (3+1)·2+6 2 :3−7 .

В этом выражении содержится степень 6 2 , ее значение нужно вычислить до выполнения остальных действий. Итак, выполняем возведение в степень: 6 2 =36 . Подставляем это значение в исходное выражение, оно примет вид (3+1)·2+36:3−7 .

Дальше все понятно: выполняем действия в скобках, после чего остается выражение без скобок, в котором по порядку слева направо сначала выполняем умножение и деление, а затем – сложение и вычитание. Имеем (3+1)·2+36:3−7=4·2+36:3−7= 8+12−7=13 .

Другие, в том числе и более сложные примеры выполнения действий в выражениях с корнями, степенями и т.п., Вы можете посмотреть в статье вычисление значений выражений.

www.cleverstudents.ru

Порядок арифметических действий, скобки

Если несколько действий выполняются одно за другим, то результат, зависит от порядка действий.

Если производить действия в порядке их записи.

Если же сначала сложить 2 и 1 и вычесть полученную сумму из 4, то получим 1.

Чтобы указать, в каком порядке нужно выполнять действия (в тех случаях, когда результат зависит от порядка действий), пользуются скобками. Действия, заключенные в скобки, выполняются раньше других. В нашем случае:

Чтобы не загромождать чрезмерно записи, условились не писать скобок:

  • в том случае, когда действия сложения и вычитания, следуя друг за другом, должны выполняться в том порядке, в каком они записаны;
  • в том случае, когда внутри скобок производятся действия умножения или деления; например, вместо 2 + (4 · 5) = 22 пишут 2 + 4 · 5 = 22.
  • При вычислении таких выражений, которые либо совсем не содержат скобок, либо содержат лишь такие скобки, внутри которых больше нет скобок, нужно производить действия в таком порядке:

    1. сначала выполняются действия, заключенные в скобки; при этом умножение и деление делаются в порядке из следования, но раньше, чем сложение и вычитание;
    2. затем выполняются остающиеся действия, причем опять умножение и деление делаются в порядке из следования, но раньше сложения и вычитания.

    Сначала выполняем умножения:
    2 · 5 = 10
    3 · 3 = 9
    затем вычитание:
    10 — 9 = 1

    Сначала выполняем действия в скобках:
    16 — 2 · 7 + 4 = 16 — 14 + 4 = 6
    2 + 5 = 7

    Теперь выполняем остающиеся действия:
    9 + 16 : 4 — 2 · 6 + 6 · 7 =
    = 9 + 4 — 12 + 42 =
    = 43

    Часто для указания порядка действий необходимо заключать в скобки такие выражения, которые сами уже содержат скобки. Тогда, кроме обычных (круглых), применяют скобки иной формы, например квадратные []. Если в скобки нужно заключить выражение, содержащее уже круглые и квадратные скобки, пользуются фигурными скобками <>. Вычисление подобных выражений производится в следующем порядке: сначала производятся вычисления внутри всех круглых скобок в вышеуказанной последовательности. Затем — вычисления внутри всех квадратных скобок по тем же правилам. Далее — вычисления внутри фигурных скобок и т.д.. Наконец, выполняются остающиеся действия.

    Выполняем действия в круглых скобках, имеем:
    8 — 6 = 2
    10 — 2 · 3 = 10 — 6 = 4

    действия в квадратных скобках дают:
    14 — 3 · 2 = 8

    выполняя остающиеся действия скобках находим:
    5 + 2 · 8 + 32 : 4 = 5 + 16 + 8 = 29

    Порядок действий:
    30 — 20 = 10
    35 — 10 = 25
    100 — 25 = 75
    75 · 2 = 150

    www.fxyz.ru

    12. Порядок выполнения действий. Правила

    Рассмотрим два выражения:

    ( 2 + 4 ) • 3 и 2 • 3 + 4 • 3

    Оба выражения равны 18 :

    ( 2 + 4 ) • 3 = 6 • 3 = 18 ; 2 • 3 + 4 • 3 = 6 + 12 = 18 .

    ( 2 + 4 ) • 3 = 2 • 3 + 4 • 3 .

    Для того чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это
    число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения.
    Это правило называется распределительным свойством умножения
    относительно сложения.

    С помощью букв его записывают так:

    ( a + b ) • c = a • c + b • c .

    Также это правило применимо к разности, умноженной на число:

    ( a – b ) • c = a • c – b • c ,

    и называется оно распределительным свойством умножения
    относительно вычитания.

    ( 5 – 3 ) • 7 = 5 • 7 – 3 • 7

    Используя распределительное свойство умножения можно упрощать
    буквенные выражения. Например:

    3a + 5a = 3 • a + 5 • a = ( 3 + 5 ) • a = 8a ;

    4b + b = 4 • b + 1 • b = ( 4 + 1 ) • b = 5b ;

    9c – 5c = 9 • c – 5 • c = ( 9 – 5 ) • c = 4c .

    Также для упрощения выражений можно применять
    сочетательное свойство умножения:

    3х • 4 • 5 = ( 3 • 4 • 5 ) • х = 60х .

    На конце глаголов 2-го лица единственного числа после шипящих
    пишется мягкий знак, который сохраняется и перед суффиксом -ся :

    танцуешь, говоришь, будешь танцевать, станцуешь ;

    (ты) советуешь – советуешься.

    Для удобства принятия решения о последовательности выполнения
    действий их разделили на две ступени:

    первая ступень — сложение и вычитание,

    вторая ступень — умножение и деление.

    При нахождении значения выражения действия выполняются
    в следующем порядке:

    1. В выражении отсутствуют скобки, и оно включает в себя действия
    только одной ступени, то тогда все операции выполняются по порядку
    слева направо.

    2. Если в выражении отсутствуют скобки, и присутствуют действия
    двух ступеней. Тогда в первую очередь выполняются действия второй
    ступени, а во вторую действия первой ступени.
    Правило слева направо при выполнении действий одинаковой
    ступени выполняется.

    3. Если выражение содержит скобки, то действия в скобках
    выполняются в первую очередь. Остальные действия выполняются
    в соответствии с правилами 1. и 2.

    Пример 1. Найдем значение выражения:

    Определим порядок выполнения действий. В выражении отсутствуют
    скобки и все действия первой ступени, значит, будем решать выражение
    слева на право.

    22 + 78 = 100 ; 100 – 56 = 44 ; 44 – 24 = 20 ;

    22 + 78 – 56 – 24 = 20 .

    Пример 2. Вычислим:

    72 : 8 • 33 : 11 • 2 =

    Так как в выражении отсутствуют скобки и присутствуют действия
    только второй ступени, то последовательность выполнения действий
    будет слева на право.

    72 : 8 = 9; 9 • 33 = 297; 297 : 11 = 27; 27 • 2 = 54.

    72 : 8 • 33 : 11 • 2 = 54 .

    25 – 8 • 3 : 2 + 4 • 4 = ?

    Последовательность решения определяет наличие действий двух
    ступеней. Сначала выполним действия второй ступени
    (умножение и деление) в порядке слева на право:

    8 • 3 = 24 ; 24 : 2 = 12 => 8 • 3 : 2 = 12 .

    А затем слева на право действия первой ступени:

    25 – 12 = 13 ; 13 + 16 = 29 .

    25 – 8 • 3 : 2 + 4 • 4 = 29 .

    99 : ( 45 – 39 + 5 ) – 25 : 5 = ?

    Порядок вычисления такой. Сначала выполним действия в скобках:

    45 – 39 = 6 ; 6 + 5 = 11 ,

    затем действия второй ступени

    99 : 11 = 9 ; 25 : 5 = 5 ,

    затем действия первой ступени

    99 : ( 45 – 39 + 5 ) – 25 : 5 = 4 .

    Задачи на тему «Порядок выполнения действий»

    Найдите значение выражения, последовательно заполняя поля.

    school-assistant.ru

    Порядок действий

    При расчётах примеров нужно соблюдать определённый порядок действий. С помощью правил ниже, мы разберёмся в каком порядке выполняются действия и для чего нужны скобки.

    Если в выражении скобок нет, то:

  • сначала выполняем слева направо все действия умножения и деления;
  • а потом слева направо все действия сложения и вычитания.
  • Рассмотрим порядок действий в следующем примере.

    Напоминаем вам, что порядок действий в математике расставляется слева направо (от начала к концу примера).

    При вычислении значения выражения можно вести запись двумя способами.

    Первый способ

  • Каждое действие записывается отдельно со своим номером под примером.
  • После выполнения последнего действия ответ обязательно записывается в исходный пример.
  • При расчёте результатов действий с двузначными и/или трёхзначными числами обязательно приводите свои расчёты в столбик.

    Второй способ

    • Второй способ называется запись «цепочкой». Все вычисления проводятся в точно таком же порядке действий, но результаты записываются сразу после знака равно.
    • Если выражение содержит скобки, то сначала выполняют действия в скобках.

      Внутри самих скобок действует правило порядка действий как в выражениях без скобок.

      Если внутри скобок находятся ещё одни скобки, то сначала выполняются действия внутри вложенных (внутренних) скобок.

      Порядок действий и возведение в степень

      Если в примере содержится числовое или буквенное выражение в скобках, которое надо возвести в степень, то:

      • Сначала выполняем все действия внутри скобок
      • Затем возводим в степень все скобки и числа, стоящие в степени, слева направо (от начала к концу примера).
      • Выполняем оставшиеся действия в обычном порядке
      • math-prosto.ru

        Смотрите еще:

        • Приказ 195 порядок продления срока Об организации осуществления контроля (надзора) за деятельностью саморегулируемых организаций в области инженерных изысканий, архитектурно-строительного проектирования, строительства, реконструкции и капитального ремонта объектов капитального строительств Положение устанавливает порядок продления срока […]
        • Комментарии к статье 163 ук рф Статья 163. Вымогательство СТ 163 УК РФ. 1. Вымогательство, то есть требование передачи чужого имущества или права на имущество или совершения других действий имущественного характера под угрозой применения насилия либо уничтожения или повреждения чужого имущества, а равно под угрозой распространения […]
        • Заявление на ремонт муниципального жилья Как составить заявление о проведении капитального ремонта в муниципальной квартире? [Перенесено модератором из заголовка] С 1976 г. не делался ремонт муниципальной квартиры. Надо правильно составить заявление в ЖКХ. С заявлением о проведении капительногоремонта необходимообращаться нев УК, а в к управление […]
        • Налоги бильярдной Бильярдный бизнес в России: преимущества, перспективы, приоритеты BizLog.ru - Деловое общение, бизнес-форумы, поиск инвесторов и партнеров по бизнесу ПРЕИМУЩЕСТВА БИЛЬЯРДНОГО БИЗНЕСА ОПТИМИЗАЦИЯ НАЛОГООБЛОЖЕНИЯ БИЛЬЯРДНЫХ КЛУБОВ Рекомендации по открытию бильярдного клуба Несколько рекомендаций по выбору […]
        • Презентация на тему чистота залог здоровья Презентация к уроку по окружающему миру (2 класс) на тему: Чистота -залог здоровья( презентация) стремление к сохранению и укреплению своего здоровья. Предварительный просмотр: Подписи к слайдам: Яьвородз голаз – атотсич . Чистота – залог здоровья. Может ли грязь повлиять на здоровье человека , стать […]
        • Взыскание задолженности по заработной плате образец искового заявления Исковое заявление о взыскании заработной платы При задержках выплаты заработка в суд подается исковое заявление о взыскании заработной платы. Получение заработной платы для работника является главным стимулом осуществления трудовой деятельности, поэтому нарушение работодателем установленных сроков и порядка […]
        • Правила рыболовства в томской области в 2018 году Памятка рыболовам - любителям при осуществлении любительского и спортивного рыболовства в Томской области Памятка рыболовам - любителям при осуществлении любительского и спортивного рыболовства в Томской области (на основании Правил рыболовства для Западно – Сибирского рыбохозяйственного бассейна, […]
        • Рэнди гейдж 7 духовных законов процветания Рэнди гейдж 7 духовных законов процветания "Семь духовных законов вашего процветания" Предисловие Лизы Джименез. Введение. Существует ли Бог на самом деле? Я хотел бы выразить особую благодарность Форду, Алисии и Синди из Prime Concepts Group, которые помогли осуществить этот проект столь быстро и […]

    Комментарии запрещены.