Решение систем уравнений правила

Решение систем уравнений правила

Этот метод мы применяли в 7-м классе для решения систем линейных уравнений. Тот алгоритм, который был выработан в 7-м классе, вполне пригоден для решения систем любых двух уравнений (не обязательно линейных) с двумя переменными х и у (разумеется, переменные могут быть обозначены и другими буквами, что не имеет значения). Фактически этим алгоритмом мы воспользовались в предыдущем параграфе, когда задача о двузначном числе привела к математической модели, представляющей собой систему уравнений. Эту систему уравнений мы решили выше методом подстановки (см. пример 1 из § 4).

1. Выразить у через х из одного уравнения системы.
2. Подставить полученное выражение вместо у в другое уравнение системы.
3. Решить полученное уравнение относительно х.
4. Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения вместо х в выражение у через х, полученное на первом шаге.
5. Записать ответ в виде пар значений (х; у), которые были найдены соответственно на третьем и четвертом шаге.

Пример 1. Решить систему уравнений

Ответ: (2; 1);

Метод алгебраического сложения


В результате алгебраического сложения двух уравнений исходной системы получилось уравнение, более простое, чем первое и второе уравнения заданной системы. Этим более простым уравнением мы имеем право заменить любое уравнение заданной системы, например второе. Тогда заданная система уравнений заменится более простой системой:


Эту систему можно решить методом подстановки. Из второго уравнения находим Подставив это выражение вместо у в первое уравнение системы, получим


Осталось подставить найденные значения х в формулу


Таким образом, мы нашли два решения системы:

С методом введения новой переменной при решении рациональных уравнений с одной переменной вы познакомились в курсе алгебры 8-го класса. Суть этого метода при решении систем уравнений та же самая, но с технической точки зрения имеются некоторые особенности, которые мы и обсудим в следующих примерах.

Что же дальше? А дальше каждое из двух полученных простых уравнений нужно поочередно рассмотреть в системе с уравнением х 2 — у 2 = 3, о котором мы пока не вспоминали. Иными словами, задача сводится к решению двух систем уравнений:


Воспользуемся методом подстановки, тем более что здесь для него все готово: подставим выражение 2у вместо х во второе уравнение системы. Получим


Так как х = 2у, то находим соответственно х1 = 2, х2 = 2. Тем самым получены два решения заданной системы: (2; 1) и (-2; -1). Решим вторую систему уравнений:


Снова воспользуемся методом подстановки: подставим выражение 2х вместо у во второе уравнение системы. Получим

Учтем, что тогда

Это позволит переписать заданную систему в значительно более простом виде, но относительно новых переменных а и b:


Применим для решения этой системы метод алгебраического сложения:


Так как а = 1, то из уравнения а + 6 = 2 находим: 1 + 6 = 2; 6=1. Таким образом, относительно переменных а и b мы получили одно решение:


Возвращаясь к переменным х и у, получаем систему уравнений


Применим для решения этой системы метод алгебраического сложения:


Ответ:
Завершим этот параграф кратким, но достаточно серьезным теоретическим разговором. Вы уже накопили некоторый опыт в решении различных уравнений: линейных, квадратных, рациональных, иррациональных. Вы знаете, что основная идея решения уравнения состоит в постепенном переходе от одного уравнения к другому, более простому, но равносильному заданному. В предыдущем параграфе мы ввели понятие равносильности для уравнений с двумя переменными. Используют это понятие и для систем уравнений.

Две системы уравнений с переменными х и у называют равносильными, если они имеют одни и те же решения или если обе системы не имеют решений.

Все три метода (подстановки, алгебраического сложения и введения новых переменных), которые мы обсудили в этом параграфе, абсолютно корректны с точки зрения равносильности. Иными словами, используя эти методы, мы заменяем одну систему уравнений другой, более простой, но равносильной первоначальной системе.

Графический метод решения систем уравнений

Мы уже с вами научились решать системы уравнений такими распространенными и надежными способами, как метод подстановки, алгебраического сложения и введения новых переменных. А теперь давайте с вами вспомним, метод, который вы уже изучали на предыдущем уроке. То есть давайте повторим, что вы знаете о графическом методе решения.

А теперь на каждом из этих решений остановимся подробнее. И так, система уравнений может иметь единственное решение в случае, если прямые, которые являются графиками уравнений системы, пересекаются. Если же эти прямые параллельны, то такая система уравнений абсолютно не имеет решений. В случае же совпадения прямых графиков уравнений системы, то тогда такая система позволяет найти множество решений.

Ну а теперь давайте с вами рассмотрим алгоритм решения системы двух уравнений с 2-мя неизвестными графическим методом:

• Во-первых, вначале мы с вами строим график 1-го уравнения;
• Вторым этапом будет построение графика, который относится ко второму уравнению;
• В-третьих, нам необходимо найти точки пересечения графиков.
• И в итоге мы получаем координаты каждой точки пересечения, которые и будут решением системы уравнений.

1. Вначале мы с вами будем строить график данного уравнения: x2+y2=9.

Но следует заметить, что данным графиком уравнений будет окружность, имеющая центр в начале координат, а ее радиус будет равен трем.

3. Смотрим, что у нас получилось. Мы видим, что прямая пересекает окружность в двух ее точках A и B.

Теперь мы с вами ищем координаты этих точек. Мы видим, что координаты (3;0) соответствуют точке А, а координаты (0;−3) соответственно точке В.

То есть, ответом этого решения являются числа: (3;0) и (0;−3).

39. Метод алгебраического сложения. Правила

В предыдущей теме мы рассмотрели решение систем уравнений
методом подстановки. Но зачастую удобнее действовать другим способом,
методом алгебраического сложения. Он заключается в сложении
(вычитании) уравнений.

Например, решим систему уравнений.

2x – 3y – 6 = 0 ,

сложим левую часть 1-го уравнения и левую часть 2-го уравнения,
приравняв результат нулю (сумме правых частей уравнений),

2x – 3y – 6 = 0 ,

( 2x – 3y – 6 ) + ( 5x + 3y – 8 ) = 0 + 0 ,

2x + 5x – 3y + 3y – 6 – 8 = 0 ,

подставим полученное значение x = 2 в любое уравнение системы,
например в 1-ое,

В предыдущем примере удалось исключить переменную y в
результате сложения уравнений благодаря коэффициентам стоящим
перед y , равным по модулям и противоположным по знаку ( 3 и –3 ) .

Рассмотрим систему, где сложение уравнений на первом этапе
не позволяет исключить ни одной переменной.

обратите внимание, коэффициент перед х (1 уравнение) в три раза
больше коэффициента перед х (2 уравнение), 6 = 2 • 3 , значит,
умножим левую и правую часть 2-го уравнения на 3 ,

(2x + 3y) • 3 = – 3 • 3 ,

6x + 5y = 7 ,

теперь мы можем вычесть второе уравнение из первого,
вычтем левую часть 2-го уравнения из левой части 1-го уравнения,
приравняв результат разности соответствующих правых частей ,

6x + 5y = 7 ,

( 6x + 5y ) – ( 6x + 9y ) = 7 – (– 9) ,

6x – 6x + 5y – 9y = 16 ,

подставим полученное значение y = – 4 в любое уравнение системы,
например в 1-ое,

school-assistant.ru

В этом параграфе мы обсудим три метода решения систем уравнений, более надежные, чем графический метод, который рассмотрели в предыдущем параграфе.

Метод подстановки

Алгоритм использования метода подстановки при решении системы двух уравнений с двумя переменными х, у.

Переменные х и у, разумеется, равноправны, поэтому с таким же успехом мы можем на первом шаге алгоритма выразить не у через х, а х через у из одного уравнения. Обычно выбирают то уравнение, которое представляется более простым, и выражают ту переменную из него, для которой эта процедура представляется более простой.

1) Выразим х через у из первого уравнения системы: х = 5 — 3у.
2)Подставим полученное выражение вместо х во второе уравнение системы: (5 — 3у) у — 2.
3)Решим полученное уравнение:


4) Подставим поочередно каждое из найденных значений у в формулу х = 5 — Зу. Если то
5) Пары (2; 1) и решения заданной системы уравнений.

Этот метод, как и метод подстановки, знаком вам из курса алгебры 7-го класса, где он применялся для решения систем линейных уравнений. Суть метода напомним на следующем примере.

Пример 2. Решить систему уравнений


Решение.

Умножим все члены первого уравнения системы на 3, а второе уравнение оставим без изменения:
Вычтем второе уравнение системы из ее первого уравнения:

Ответ:

Метод введения новых переменных

Пример 3. Решить систему уравнений

Решение. Введем новую переменную Тогда первое уравнение системы можно будет переписать в более простом виде: Решим это уравнение относительно переменной t:


Оба эти значения удовлетворяют условию , а потому являются корнями рационального уравнения с переменной t. Но значит, либо откуда находим, что х = 2у, либо
Таким образом, с помощью метода введения новой переменной нам удалось как бы «расслоить» первое уравнение системы, достаточно сложное по виду, на два более простых уравнения:

Надо найти решения первой системы, второй системы и все полученные пары значений включить в ответ. Решим первую систему уравнений:


Это уравнение не имеет корней, значит, и система уравнений не имеет решений. Таким образом, в ответ надо включить только решения первой системы.

Метод введения новых переменных при решении систем двух уравнений с двумя переменными применяется в двух вариантах. Первый вариант: вводится одна новая переменная и используется только в одном уравнении системы. Именно так обстояло дело в примере 3.Второй вариант: вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы. Так будет обстоять дело в примере 4.

Пример 4. Решить систему уравнений

Введем две новые переменные:


Так как то из уравнения 2x + y = 3 находим:
Таким образом, относительно переменных х и у мы получили одно решение:

Метод решения систем уравнения графическим способом представляет собой построение графика для каждого из конкретных уравнений, которые входят в данную систему и находятся в одной координатной плоскости, а также где требуется найти пересечения точек этих графиков. Для решения данной системы уравнений являются координаты этой точки (x; y).

Следует вспомнить, что для графической системы уравнений свойственно иметь либо одно единственное верное решение, либо бесконечное множество решений, либо же не иметь решений вообще.

Давайте этот метод рассмотрим более подробно на примере. Нам дана система уравнений, которую необходимо решить:

2. Следующим нашим шагом будет построение графика такого уравнения, как: y = x – 3.

В этом случае, мы должны построить прямую и найти точки (0;−3) и (3;0).

И что мы получаем в итоге?

Получившиеся при пересечении прямой с окружностью числа (3;0) и (0;−3), как раз и являются решениями обоих уравнений системы. А из этого следует, что данные числа являются и решениями этой системы уравнений.

edufuture.biz

Смотрите еще:

  • При каких значениях переменной алгебраическая дробь не имеет смысла правило Цели: повторить основное свойство дроби, рассмотреть это свойство для алгебраических дробей; формировать умение самостоятельно работать с книгой, сокращать дроби и приводить дроби к одинаковому знаменателю. Ход урока: 1. Организационный момент. 2. Обучающая самостоятельная работа. Вариант 2 1) Установите, […]
  • Пособие коронарография Пособие коронарография КоронарографияДиагностическая коронарография - это ведущий метод исследования сосудов сердца, благодаря которому появилась возможность визуальной диагностики заболеваний коронарных (сердечных) сосудов. В мировой практике коронарография является «золотым стандартом» в диагностике […]
  • Правила дорожного движения скорость по городу Знак 3.24 Ограничение максимальной скорости 3.24 В случае превышения разрешенной скорости с разницей до +10 км/ч, Вас может остановить инспектор ГИБДД в том случае, если движение вашего автомобиля отличается от потока других, и при этом сделать только предупреждение. За превышение скоростного режима свыше […]
  • Как изменить разрешение в безопасном режиме Неудачно сменил разрешение экрана IMO3G #1 Отправлено 04 Май 2012 - 12:57 в общем мне начало казаться, что все изображение растянуто по оси Y, сменил разрешение экрана, но оно оказалось очень большим и монитор не кажет игрушку. как сбросить настройки?ъ КАК МОЖНО ПОМЕНЯТЬ НАСТРОЙКИ ИГРЫ, НЕ ЗАПУСКАЯ ЕЁ? […]
  • Прокурор города жигулевска Прокурор города жигулевска 445350, Самарская область, Жигулевский район, г. Жигулёвск, ул. Пушкина, 17 +7 (84862) 2-11-12 445350, Самарская область, Жигулевский район, г.Жигулевск, ул.Интернационалистов, 30 +7 (84862) 2-36-70 445350, Самарская область, Жигулевский район, г. Жигулёвск, пер. Механический, 16 […]
  • Правила посещения роддома Контактная информация Филиал №1 Роддом №4 ГБУЗ «ГКБ им. В.В. Виноградова ДЗМ» Адрес: 119421 , г. Москва , ул. Новаторов, д. 3 Телефоны: +7 (495) 103-4646 – eдиный круглосуточный многоканальный телефон +7 (495) 103-4646 (добавочный 30113) - детская клиника (адрес клиники - ул. Профсоюзная, д. 24, […]
  • Категории единого налога Группы плательщиков единого налога - 2018 Всего 4 группы плательщиков. 1 группа ЕН: годовой лимит дохода - дo 300000 гривен; ставка с 2018 года - до 10% размера прожиточного минимума, то есть 176,20 грн., ставка с 2017 года - до 10% размера прожиточного минимума, то есть 160,00 грн 2 группа ЕН: годовой […]
  • Опека городище Отдел опеки и попечительства, Администрация Городищенского района Телефоны организации (84468) 3-3-3--34 РекламироватьНашли ошибку? Схема проезда Администрации районов / округов городской власти в рабочем поселке Городище Отзывы об Отделе опеки и попечительства, Администрации Городищенского района Моя […]

Комментарии запрещены.