Точка движется прямолинейно по закону x t

Задача ЕГЭ 2018 — производная функции (продолжение).

Этот раздел посвящен группе задач с кратким ответом, связанных с производной. В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2018 года они могут встретиться под номером 14 для базового уровня и под номером 7 для профильного уровня.
Как и в задачах на определение характеристик производной и свойств функций по их графикам, здесь требуется понимание геометрического и физического смысла производной. Если вы еще не разбирались с упомянутыми задачами, перейдите по ссылкам в нижней части страницы.

В условии задач этой части задания на производную, в отличие от рассмотренных ранее, отсутствуют рисунки и графики. Для их решения необходимо применять аналитический подход, т.е. уметь вычислять производные функций, знать уравнение касательной к графику функции и т.п.

Процесс вычисления производных называют дифференцированием. Перед решением следующих задач стоит повторить формулы и правила дифференцирования функций.

Формулы дифференцирования функций

Правила дифференцирования функций

Правила можно сформулировать и словами.

  • Производная суммы равна сумме производных.
  • Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
  • Производная произведения равна «производная первого сомножителя, умноженная на второй, плюс производная второго сомножителя, умноженная на первый».
  • Производная дроби равна «производная числителя, умноженная на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель, и деленные на знаменатель в квадрате».
  • Пример вычисления производной.

    Вычислить производную функции f(x) = −x 4 + 6x 3 + 5x + 23.

    f (x) = (−x 4 + 6x 3 + 5x + 23);
    По правилу (1) дифференцирования суммы:
    (−x 4 + 6x 3 + 5x + 23) = (−x 4 ) + (6x 3 ) + (5x) + (23).
    По правилу 2 выносим за скобки числовые коэффициенты:
    (−x 4 ) + (6x 3 ) + (5x) + (23) = −(x 4 ) + 6(x 3 ) + 5(x) + (23);
    Переходим к формулам дифференцирования.
    По формуле (x n ) = nx n − 1 :
    (x 4 )= 4x 4 − 1 = 4x 3 ;
    (x 3 )= 3x 3 − 1 = 3x 2 .
    Для третьего слагаемого используем формулу (x)= 1, а для последнего слагаемого формулу (с) = 0 (производная константы равна нулю), т.е. (23) = 0.
    Получим: −(x 4 ) + 6(x 3 ) + 5(x) + (23) = −4x 3 + 6·3x 2 + 5·1 + 0 = −4x 3 + 18x 2 + 5.
    Следовательно: f (x) = −4x 3 + 18x 2 + 5.

    Задачи на геометрический смысл производной.

    А что такое касательная к графику функции? Часто на этот вопрос школьники и даже студенты пытаются ответить: «Прямая, имеющая одну общую точку с графиком функции.» Это не так. Одну общую точку касательная и график функции, как правило, имеют только в локальной окрестности этой точки, за пределами такой окрестности могут быть разные варианты «взаимодействия» прямой и графика. И даже из этого правила существуют исключения. Например, задумайтесь о том, что такое касательные к графику линейной функции? Сколько общих точек с графиком функции у = sinx имеет прямая y = 1?

    Понятие предела здесь неразрывно связано с понятием производной. Чтобы было понятнее значение этого момента для решения и самопроверки заданий ЕГЭ по математике, для некоторых задач, которые не имеют чертежей и графиков в условии задачи, я привожу эти иллюстрации в решении. Сначала в виде уменьшенной копии — иконки. После полного разбора задачи щелкните по ней клавишей мыши, чтобы увеличить, и вы увидите то, что получили в результате аналитических вычислений.

    Однако для решения ряда задач, на мой взгляд, проще применять не само уравнение, а те соображения, из которых его выводили:
    1) уравнение любой прямой имеет вид y = kx + b ;
    2) если прямая является касательной к графику функции f(x) в точке х0, то её угловой коэффициент совпадает с производной функции в этой точке, т.е. k = f (x0) ;
    3) точка касания принадлежит как прямой, так и графику функции, это означает, что её координаты должны удовлетворять обоим уравнениям, и подставляя в уравнение прямой и в выражение для функции значение абсциссы х0, мы должны получить одинаковые значения для ординаты y, т.е. kx0 + b = f(x0) .

    Прямая y = 5x − 3 параллельна касательной к графику функции y = x 2 + 2x − 4. Найдите абсциссу точки касания.

    Прямая параллельная касательной имеет одинаковый с ней угол наклона к оси абсцисс. Т.е., угловой коэффициент касательной (он же тангенс угла наклона) равен 5, как у заданной прямой.
    С другой стороны, мы знаем, что угловой коэффициент касательной равен производной функции в точке касания. Найдем производную:
    y‘(x) = (x 2 + 2x − 4)’ = 2x + 2.
    Составим уравнение, подставив в выражение для производной неизвестную абсциссу точки касания x0.
    2x0 + 2 = 5
    2x0 = 5 − 2 = 3
    x0 = 3/2 = 1,5.

    Замечание: Мы решали уравнение относительно неизвестной величины, обозначенной x0. Но решение было бы таким же, если бы эта величина обозначалась переменной x. Дополнительное обозначение понадобилось только для того, чтобы подчеркнуть, что уравнение составлено не для всех точек области определения функции, а именно для искомой точки касания. В том случае, когда по смыслу итак ясно, что речь идет только о точке касания, такого переобозначения обычно не делают, чтобы не загромождать записи. В следующих задачах я тоже не буду вводить этого обозначения без необходимости.

    Щелкните по иконке, чтобы увидеть графическую иллюстрацию к этой задаче.

    Прямая y = − 4x − 11 является касательной к графику функции y = x 3 + 7x 2 + 7x − 6. Найдите абсциссу точки касания.

    Прямая является касательной, поэтому, с одной стороны, её угловой коэффициент определяется значением производной функции в точке касания, а с другой – он равен минус четырем, как это видно из уравнения прямой.
    Найдем производную функции y‘(x) = (x 3 + 7x 2 + 7x − 6)’ = 3x 2 + 14x + 7
    и приравняем её значение в точке касания угловому коэффициенту, т.е. числу −4. (Переобозначать x на x0 необязательно, т.к. дальше нас интересует только абсцисса точки касания.) Таким образом составили и теперь решим квадратное уравнение:
    3x 2 + 14x + 7 = − 4
    3x 2 + 14x + 11 = 0
    D = 14 2 − 4·3·11 = 196 − 132 = 64
    x1 = (−14 + 8)/6 = −1
    x2 = (−14 − 8)/6 = −11/3.
    Найдем ординаты точек, которые имеют абсциссу x1 = −1 и принадлежат графику функции и графику прямой. Для этого подставляем −1 в уравнения функции и прямой.
    yкас = −4·(−1) − 11 = 4 − 11 = − 7
    yфун = (−1) 3 + 7·(−1) 2 + 7·(−1) − 6 = − 1 + 7 − 7 − 6 = − 7
    Ординаты совпали, значит прямая действительно касается графика функции в этой точке.
    Найдем ординаты точек, которые имеют абсциссу x2 = −11/3 и принадлежат графику функции и графику прямой.
    yкас = −4·(−11/3) − 11 = 11/3 ≈ 3,667
    yфун = (−11/3) 3 + 7·(−11/3) 2 + 7·(−11/3) − 6 ≈ 13,148
    Ординаты не совпали, это разные точки. Ответом является только первый корень уравнения х = −1.

    Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции ax 2 + 2x + 3. Найдите a.

    Прямая является касательной, поэтому, с одной стороны, её угловой коэффициент определяется значением производной функции в точке касания, а с другой – он равен трём, как это видно из уравнения прямой.
    Находим производную
    y‘(x) = (ax 2 + 2x + 3)’ = 2ax + 2
    и составляем уравнение
    2ax + 2 = 3.
    Но в этом уравнении два неизвестных a и x, значит нужно еще одно уравнение. Второе уравнение составим используя условие, что точка касания является общей точкой графиков функции и касательной.
    3x + 1 = ax 2 + 2x + 3
    Эти два равенства составляют систему уравнений, которую будем решать методом подстановки. Из первого уравнения выражаем значение х
    2ax = 3 − 2
    2ax = 1
    x = 1/(2a)
    и подставляем его во второе уравнение, чтобы найти a.
    3·1/(2a) + 1 = a·(1/(2a)) 2 + 2·1/(2a) + 3
    (3 +2a)/(2a)= 1/(4a) +2/(2a) + 3;
    Умножим на 4a обе части равенства.
    6 + 4a = 1 + 4 + 12a
    8a = 1; a = 1/8 = 0,125

    Прямая y = −5x + 8 является касательной к графику функции 28x 2 + bx + 15. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

    Прямая является касательной, поэтому, с одной стороны, её угловой коэффициент определяется значением производной функции в точке касания, а с другой – он равен минус пяти, как это видно из уравнения прямой.
    Находим производную
    y‘(x) = (28x 2 + bx + 15)’ = 56x + b;
    и составляем уравнение
    56x + b = −5
    Второе уравнение составляем исходя из того, что точка касания принадлежит обоим графикам и графику функции, и графику прямой
    28x 2 + bx + 15 = −5x + 8.
    Объединим уравнения в систему. Затем первое умножим на х и вычтем его из второго.
    28x 2 − 56x 2 + bxbx + 15 = −5x + 5x + 8.
    После приведения подобных членов получим уравнение
    −28x 2 + 7 = 0.
    Следовательно x 2 = 7/28 = 1/4 и x1,2 = ±1/2.
    По условию задачи абсцисса точки касания больше 0, поэтому выбираем положительный корень x1 = +1/2 и подставляем его в первое уравнение системы, чтобы определить b.
    56x + b= −5
    56·1/2 + b = −5
    b = −5 −28; b = −33

    Прямая y = 3x + 4 является касательной к графику функции 3x 2 − 3x + c. Найдите c.

    Найдем производную функции y‘(x) = (3x 2 − 3x + c)’ = 6x − 3;
    Приравняем её к угловому коэффициенту прямой, чтобы найти абсциссу точки касания:
    6x − 3 = 3;
    6x = 6; x = 1.
    Используем условие, что точка касания является общей точкой прямой и графика функции, т.е. в равенство
    3x + 4 = 3x 2 − 3x + c
    подставим единицу.
    3·1 + 4 = 3·1 2 − 3·1 + c
    7 = 3 − 3 + c, следовательно c = 7.

    Задачи на физический смысл производной.

    Это может означать, например, следующее:
    Если нас интересует движение автомобиля, то, принимая в качестве функции зависимость пройденного расстояния от времени, с помощью производной мы получим зависимость скорости от времени.
    Если же мы рассматриваем в качестве функции мгновенную скорость автомобиля, то производная задает изменение его ускорения.
    Если мы рассматриваем функцию, задающую зависимость объема произведенной продукции от времени, то производная позволит узнать, как изменялась со временем производительность труда на этом предприятии.
    Если мы рассматриваем электромагнитные волны, то нам могут потребоваться функции, характеризующие изменение со временем электрического и магнитного полей, а также их производные — скорости изменения этих полей, ведь величина магнитного поля пропорциональна скорости изменения электрического поля.
    И т.п.

    Решая конкретные текстовые задачи на скорость процесса с применением производной, следует не забывать о размерностях величин. Если переменная y, заданная функцией f(x) измеряется в некоторых единицах [y], а её аргумент в единицах [x], то производная (скорость) измеряется в единицах [y/x].

    Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 6t 2 − 48t + 17, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9с.

    Находим производную
    x‘(t) = (6t 2 − 48t + 17)’ = 12t − 48.
    Таким образом мы получили зависимость скорости от времени. Чтобы найти скорость в заданный момент времени, нужно подставить его значение в полученную формулу:
    x‘(t) = 12t − 48.
    x‘(9) = 12·9 − 48 = 60.

    Замечание: Убедимся, что не ошиблись с размерностью величин. Здесь единица измерения расстояния (функции) [x] = метр, единица измерения времени (аргумента функции) [t] = секунда, следовательно единица измерения производной [x/t] = [м/с], т.е. производная даёт скорость как раз в тех единицах, которые упомянуты в вопросе задачи.

    Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = −t 4 + 6t 3 + 5t + 23, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3с.

    Находим производную
    x‘(t) = (−t 4 + 6t 3 + 5t + 23)’ = −4t 3 + 18t 2 + 5.
    Подставляем заданный момент времени в полученную формулу
    x‘(3) = −4·3 3 + 18·3 2 + 5 = −108 + 162 + 5 = 59.

    Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t 2 − 13t + 23, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

    Находим производную
    x‘(t) = (t 2 − 13t + 23)’ = 2t − 13.
    Приравниваем скорость, заданную полученной формулой, значению 3 м/с.
    2t − 13 = 3.
    Решив это уравнение, определим в какое время равенство является верным.
    2t − 13 = 3.
    2t = 3 + 13.
    t = 16/2 = 8.

    Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = (1/3)t 3 − 3t 2 − 5t + 3, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

    Находим производную
    x‘(t) = ( (1/3)t 3 − 3t 2 − 5t + 3 )’ = t 2 − 6t − 5.
    Составляем и уравнение:
    t 2 − 6t − 5 = 2;
    t 2 − 6t − 7 = 0.
    Это квадратное уравнение, которое можно решить через дискриминант или по теореме Виета. Здесь, на мой взгляд, вторым способом легче:
    t1 + t2 = 6; t1·t2 = −7.
    Легко догадаться, что t1 = −1; t2 = 7.
    В ответ помещаем только положительный корень, т.к. время не может быть отрицательным.

    Вернуться и повторить решение задач этого типа с графическим заданием условий:

    К этой теме также могут быть отнесены задачи на аналитическое нахождение максимума и минимума функции или наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. В ЕГЭ 2018 они вынесены в отдельное задание профильного уровня.
    Перейти к этому заданию.

    Перейдите по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ 2018.

    mathematichka.ru

    Физический смысл производной. Задачи!

    Физический смысл производной. В состав ЕГЭ по математике входит группа задач для решения которых необходимо знание и понимание физического смысла производной. В частности, есть задачи, где дан закон движения определённой точки (объекта), выраженный уравнением и требуется найти его скорость в определённый момент времени движения, либо время, через которое объект приобретёт определённую заданную скорость. Задачи очень простые, решаются они в одно действие. Итак:

    Пусть задан закон движения материальной точки x (t) вдоль координатной оси, где x координата движущейся точки, t – время.

    Скорость в определённый момент времени – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной.

    Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:

    Таким образом, физический смысл производной это скорость. Это может быть скорость движения, скорость изменения какого-либо процесса (например роста бактерий), скорость совершения работы (и так далее, прикладных задач множество).

    Кроме того, необходимо знать таблицу производных (знать её нужно также, как таблицу умножения) и правила дифференцирования. Если конкретно, то для решения оговоренных задач необходимо знание первых шести производных (см. таблицу):

    Материальная точка движется прямолинейно по закону

    x (t) = t 2 – 7t – 20

    где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 5 c.

    Физический смысл производной это скорость (скорость движения, скорость изменения процесса, скорость работы и т.д.)

    Найдем закон изменения скорости: v (t) = x′(t) = 2t – 7 м/с.

    Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 6t 2 – 48t + 17, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9 c.

    Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6 с.

    Материальная точка движется прямолинейно по закону

    x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

    где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3 с.

    x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28

    где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?

    Найдем закон изменения скорости:

    Для того, чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 3 м/с, необходимо решить уравнение:

    Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = t 2 – 13t + 23, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

    x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

    где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

    Отмечу, что ориентироваться только на такой тип задач на ЕГЭ не стоит. Могут совершенно неожиданно ввести задачи обратные представленным. Когда дан закон изменения скорости и будет стоять вопрос о нахождении закона движения.

    Подсказка: в этом случае необходимо найти интеграл от функции скорости (это так же задачи в одно действие). Если потребуется найти пройденное расстояние за определённый момент времени, то необходимо подставить время в полученное уравнение и вычислить расстояние. Впрочем, мы такие задачи тоже будем разбирать, не пропустите! Успехов вам!

    matematikalegko.ru

    Точка движется прямолинейно по закону x t

    Тест ЕГЭ по математике.

    Демонстрационный вариант № 9.

    Решение наиболее сложных заданий группы В.

    В3. Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см x 1 см (рис.3.1). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

    Описываем вокруг трапеции прямоугольник ACDF (рис.3.2). Порядок действий: вычисляем площадь прямоугольника, отнимаем от нее площади треугольников ABK, KEF и BCD и получаем площадь трапеции. Итак…

    1) Находим площадь прямоугольника:

    AC • CD = 8 • 7 = 56.

    2) Вычисляем площади треугольников. Так как все треугольники прямоугольные, то их площади равны половине произведения катетов:

    SABK = AB • AK : 2 = 1 • 4 : 2 = 2.

    SKEF = KF • EF : 2 = 3 • 3: 2 = 4,5.

    SBCD = BC • CD : 2 = 7 • 7 : 2 = 24,5.

    3) Отнимаем от площади прямоугольника сумму площадей треугольников и получаем ответ:

    SBDEK = 56 – (2 + 4,5 + 24,5) = 56 – 31 = 25 (см 2 ).

    В5. Найдите корень уравнения log2(7−x )=5 .

    В6. На окружности отмечены точки А, В и С (рис.6.1). Дуга окружности АС, не содержащая точку В, составляет 130°. Дуга окружности ВС, не содержащая точку А, составляет 72°. Найдите вписанный угол АСВ. Ответ дайте в градусах.

    Сначала уясним задачу. Величина дуги АС соответствует величине угла АОС, а величина дуги ВС соответствует величине угла ВОС (рис.6.2). Таким образом:

    1) Вспомним свойство углов: центральный угол вдвое больше вписанного угла, если оба угла опираются на одну дугу. В нашей задаче центральный угол АОС и вписанный угол СВА опираются на одну и ту же дугу АС, центральный угол ВОС и вписанный угол ВАС опираются на одну и ту же дугу ВС. Значит, в треугольнике АВС мы нашли величины двух углов:

    угол ВАС = угол ВОС : 2 = 72 : 2 = 36;

    угол СВА = угол АОС : 2 = 130 : 2 = 65.

    2) Осталось найти искомый угол АСВ. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то:

    АСВ = 180 – 36 – 65 = 79.

    В8. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 1/3t 3 +5t 2 +25t, где х – расстояние от точки отсчёта в метрах, t – время в секундах, измеренное с момента начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 64 м/с?

    1) Скорость v(t) равна производной x ′ (t). Вычисляем производную:

    Далее возможны два варианта решения. Можно приравнять уравнение к нулю и решить получившееся квадратное уравнение, а можно применить формулу сокращенного умножения. Второй вариант короче, поэтому на нем и остановимся.

    Выражение t 2 + 10t + 25 представим в виде (t + 5) 2 . А число 64 представим как 8 2 . Получаем:

    Левая и правая части уравнения имеют одинаковую степень, поэтому можем освободиться от нее и приравнять только основания. Получится простое уравнение, которое легко решить:

    В9. Высота конуса равна 36, а диаметр основания равен 30 (рис.9.1). Найдите длину образующей конуса.

    Проведем радиус от точки В к точке А (рис.9.2). Получили прямоугольный треугольник АВС. Радиус равен 15 (половина диаметра). Таким образом, в прямоугольном треугольнике нам известны катеты:

    По теореме Пифагора находим гипотенузу АС, которая одновременно является образующей конуса:

    АС 2 = АВ 2 + ВС 2 = 15 2 + 36 2 = 1521.

    В10. В классе 21 шестиклассник, среди них два друга – Митя и Петя. Класс случайным образом делят на три группы, по 7 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Митя и Петя окажутся в одной и той же группе.

    Чтобы упростить задачу, представим ситуацию несколько иначе. Митя уже находится в одной из трех групп. Какова вероятность того, что и Петя окажется в этой же группе? Исключаем Митю из числа претендентов, поскольку он уже в группе х. Значит, осталось распределить по группам 20 человек, а в группу Мити должны попасть еще 6 человек. Таким образом, получается, что для Пети вероятность попасть в группу Мити составляет 6 из 20. Составляем это соотношение, производим сокращения и получаем ответ:

    В14. Найдите наименьшее значение функции y = 8x 2 − x 3 + 13 на отрезке [−5; 5].

    1) Находим производную функции:

    2) Находим нули функции – для этого приравняем производную к нулю:

    Получилось квадратное уравнение. Его корни:

    Из двух корней первый не входит в заданный отрезок (корень больше 5). Значит, рассматриваем только х = 0.

    Определив знаки на числовой оси и изучив поведение функции, увидим, что при х = 0 функция имеет максимальное значение. Вычислим это значение:

    test1.czl23.ru

    Подготовка учащихся 10–11-х классов к итоговой аттестации по теме «Производная»

    Разделы: Математика

    Одним из важнейших вопросов, способствующих достижению глубоких и прочных знаний у учеников, является вопрос о повторении ранее пройденного материала. Он должен служить фундаментом, на который опирается изучение нового материала, который в свою очередь, должен обогащать и расширять ранее изученные понятия.

    «Обучение нельзя довести до основательности без возможно более частых и особенно искусно поставленных повторений и упражнений», — говорил Каменский.

    Повторение учебного материала по математике должно осуществляться на протяжении всего учебного процесса: при актуализации знаний — на этапе подготовки и изучения нового материала, при формировании учителем новых понятий, при закреплении изученного ранее, при организации самостоятельных работ различных видов, при проверке знаний учащихся, при подготовке к ЕГЭ.

    Опыт работы в профильных классах гуманитарного направления показывает, что большинство учащихся, приходящих в эти классы, не обладают глубокими и прочными математическими знаниями, не мотивированы на изучение данного предмета. Для таких учащихся главное – это набрать минимальный аттестационный балл, а учителю необходимо добиться от учеников безошибочного, максимально надежного выполнения как можно большего количества заданий из первой части.

    Тема «Производная» вызывает у большого количества учащихся страх, выстраивается психологический барьер: «я это не решу», так что слабый ученик попросту пропускает подобные задания. Поэтому целью данной работы является разработка методики организации повторения по теме «Производная» с тем, чтобы упорядочить и систематизировать полученные учащимися знания, отработать определенные алгоритмы выполнения заданий базового уровня сложности, помочь преодолеть неуверенность в своих силах.

    Характеристика заданий базового уровня сложности

    1. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

    Тип задания. Задание на вычисление производной.

    Характеристика задания. Задача на вычисление производной по данным приводимого в условии рисунка, представляющего собой изображенные на клетчатой бумаге график функции и касательную к нему. Задания отличаются углом наклона касательной к положительному направлению оси Ох, расположением графика функции и точки касания в координатной плоскости. Иногда на рисунке может быть изображен график функции, а касательная задана описанием. Метод решения от этого не меняется и основывается на геометрическом смысле производной.

    Комментарий для учащихся. Решение задачи состоит в вычислении углового коэффициента касательной, т.е. тангенса угла, который она образует с положительным направлением оси абсцисс.
    Основная формула: , где α – угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох.

    1. Определить вид угла (острый или тупой) между касательной и положительным направлением оси абсцисс. Если угол тупой поставить знак «-».
      (Для некоторых учащихся проще определить знак по возрастанию или убыванию функции на промежутке, где находится точка касания).
    2. Найти отрезок касательной с концами в вершинах клеток.
    3. Считая его гипотенузой прямоугольного треугольника, найти отношение вертикального катета к горизонтальному катету.
    4. Хорошим помощником в отработке навыков решения подобных заданий является наглядное выполнение пунктов алгоритма с помощью презентации в Power Point (См. Приложение 1, слайды 1-4).

      2. На рисунке изображен график y = f´(x) — производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y = f(x) параллельна прямой y = 2x — 2 или совпадает с ней.

      3. Прямая y = 7x — 5 параллельна касательной к графику функции y = x 2 + 6x — 8. Найдите абсциссу точки касания.

      4. Прямая y = -4x — 11 является касательной к графику функции y = x 3 + 7x 2 + 7x — 6. Найдите абсциссу точки касания.

      Тип заданий №2-4. Задание на вычисление значения аргумента по заданному значению функции.

      Характеристика задания. Задача на нахождение абсциссы точки, ордината которой — это значение производной функции. Производная функции может быть задана с помощью графика или ее необходимо найти по аналитически заданной функции. Прямая у = kx + b либо сама является касательной к графику функции, либо параллельна ей. Метод решения этих типов задач также основан на геометрическом смысле производной и на условии параллельности двух прямых. В этом типе заданий встречаются задачи с параметром в функции, представляющей собой квадратный трехчлен. Эти задания учащимися воспринимаются как более сложные, хотя алгоритм решения остается прежним. Их целесообразно оставить для итогового обобщающего повторения.

      Комментарий для учащихся. Для того, чтобы прямая у = kx + b являлась касательной к графику функции f(x) в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы: а) значения обеих функций при х = х0 совпадали; б) k = f´(x).
      Графики прямых у = k1x +b1 и y = k2x + b2 параллельны или совпадают при условии k1= k2.
      Алгоритм решения задачи №2 проиллюстрировано на слайде 5 (См. Приложение 1).

    5. Найдем производную функции: у´ = 2х + 6;
    6. Приравняем производную к коэффициенту k: 2х + 6 = 7; х = 1/2.
    7. Ответ: 0,5.

      Решая второе уравнение, получаем х1= -1; х2=
      Проверим, является ли -1 корнем первого уравнения: -1+7-11+5=0 – верно.
      Ответ: -1.

      Замечание: учащимся полезно напомнить, что решение каждого задания части В должно быть записано либо в виде целого числа, либо в десятичной дроби; двух ответов быть не должно, следовательно, второй корень уравнения можно не проверять уже потому, что его нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

      5. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-6;8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

      6. На рисунке изображен график y = f´(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-11;3). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму их длин.

      7. На рисунке изображен график функции y = f´(x), определенной на интервале (-2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

      8. На рисунке изображен график y = f´(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-3;2] функция f(x) принимает наибольшее значение.

      Тип задач № 5-8. Задание на чтение графиков функции.

      Характеристика задания. Задание, в котором из графической информации о поведении производной функции нужно получить информацию о самой функции и наоборот. Это задание требует от учащихся знаний о свойствах функций, умения «читать» эти свойства на графике, а также интерпретировать свойства функции на свойства функции-производной и обратно.

      Комментарий для учащихся. Сопоставить свойства самой функции и ее производной удобно в виде таблицы (См. Приложение 2).

      Решение задач №5-№8 проиллюстрировано с помощью слайдов 6-9 (См. Приложение 1).

      9. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = -t 4 + 6t 3 + 5t + 23, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3 с.

      10. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t 3 — 3t 2 — 5t + 3, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

      Тип задач № 9-10. Задание на вычисление производной функции.

      Характеристика задания. Метод решения заданий этого типа основаны на механическом смысле производной. Они включают в себя прямую задачу, когда необходимо найти скорость по заданному моменту времени, и сводится к нахождению значения функции по заданному значению аргумента, а также обратную задачу, в которой требуется найти момент времени, в который скорость принимает заданное значение. Вэтом случае нужно решить получившееся уравнение (линейное или квадратное).

      Комментарий для учащихся. Механический смысл производной состоит в том, что производная от координаты по времени есть скорость: v(t) = x´(t), производная от скорости по времени есть ускорение: a = v´(t).

    8. Найдем производную функции, задающей закон движения:
      x´(t) = — 4t 3 + 18t 2 + 5;
    9. Найдем значение производной при t=3:
      x´(3) = -4∙3 3 +18∙3 2 + 5 = -108 +162 + 5 = 59.

    Ответ: 59.

  • Найдем производную функции:
    x´(t) = t 2 — 6t – 5.
  • По условию v(t) = x´(t) = 2. Подставим это значение в левую часть равенства:
    2 = t 2 – 6t – 5,
    t 2 – 6t – 7 = 0.
  • Решим получившееся квадратное уравнение: t1 = 7, t2 = -1. По смыслу задачи (t ≥ 0) t = 7.
  • Ответ: 7.

    Тип задания. Задание на исследование функции.

    Характеристика задания. Задание на нахождение точек экстремума, экстремумов, наибольших и наименьших значений функций, заданных аналитически, с помощью производной. Задания содержат все шесть функционально-числовых линий школьного курса: целые рациональные функции (многочлены); дробно-рациональные; иррациональные; тригонометрические; показательные; логарифмические функции. Алгоритм решения принципиально не меняется. Правильное решение этих заданий невозможно без знания формул и правил дифференцирования, уверенных навыков вычисления производных. Отработку этих навыков можно включать в вводное, тематическое, сопутствующее повторение, а также в виде устного счета при повторении не связанном с темой урока. Формы такого повторения также могут быть различными: математические диктанты; задания «найди ошибку»; самостоятельные работы, задания для домашней работы.

    Комментарий для учащихся. Необходимое общее условие для всех функций – их непрерывность. Если у функции можно посчитать производную, то функция непрерывна. Остальная необходимая информация может быть почерпнута из представленной выше таблицы.

    11. Найдите точку минимума функции y = 3x — ln(x+3) 3 .
    Пошаговое решение представлено на слайдах 10-11.
    Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции удобно представить в виде схемы на слайде 12 (См. Приложение 1).

    Формы работы при различных видах повторения
    Задания для устной работы (См. Приложение 3)

    Эти задания можно использовать при всех видах повторения.

    Замечание: в примерах 7-11функции нужно привести к виду у = х p ,в примерах 12,13 преобразовать в многочлен, в 21-23 примерах увидеть формулы тригонометрии.

    №32 По графику функции y = f(x) ответьте на вопросы:

  • Сколько точек имеет эта функция, в которых касательная параллельна оси Ох?
  • В какой точке графика производная не существует?
  • Назовите наименьший из промежутков, где производная функции отрицательна.
  • №33 По графику функции y = f´(x) ответьте на вопросы:

  • Сколько точек максимума имеет эта функция?
  • Назовите точки минимума функции?
  • Сколько промежутков возрастания у этой функции?
  • Найдите длину промежутка убывания этой функции?
  • Ответы: 1) 1; 2) 0; 3) 2; 4) 4.

    №34 На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

    Начиная изучение темы «Первообразная», задания на механический смысл производной логично включить в качестве сопутствующего повторения при актуализации знаний.

    №35 Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t 2 + 4t — 20, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6 с.

    Ответ: 6.

    №36 Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t 2 + t + 26, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

    Ответ: 5.

    Тест, представленный на слайдах 13-18, (см. Приложение 1) может быть проведен на уроке «Дифференцирование показательной и логарифмической функции» в качестве текущего тематического повторения после изучения нового материала.

    Самостоятельная работа (слайды 19-23) может быть предложена на уроке итогового тематического повторения в 10-м классе или в начале 11-го класса на уроках вводного повторения.

    Задания для домашней работы могут быть проверены в форме «найди ошибку». Примеры таких заданий представлены на слайдах 24-26.

    Для самостоятельного решения во время итогового обобщающего повторения учащимся, проявившим интерес к данной теме, можно предложить задания с параметром.

    №37 Прямая y = 3x + 4 является касательной к графику функции y = 3x 2 — 3x + c . Найдите c и абсциссу точки касания.
    Ответ: 1; 1.

    №38 Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции y = ax 2 + 2x + 3 . Найдите абсциссу точки касания.
    Ответ: 4.

    №39 Прямая y = -5x + 8 является касательной к графику функции y = 28x 2 + bx + 15. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания положительна.
    Ответ: -23.

    Данная статья появилась в результате анализа моей работы в профильных классах гуманитарного направления. Подбирая задачи по теме, я попыталась систематизировать и упорядочить все типы заданий, встречающихся в Открытом банке заданий ЕГЭ, использовать их при организации различного вида повторений: в 10-м классе для текущего, тематического повторения; в начале учебного года в 11-м классе; сопутствующего повторения, а также заключительного обобщающего и систематизирующего повторения. Учитывая слабый контингент учащихся, стремилась разработать четкие алгоритмы выполнения типовых заданий, для того, чтобы ученики могли привыкнуть к ним, поняли, что в них нет ничего сложного и, в итоге, смогли преодолеть психологический барьер при решении заданий по данной теме.

    Данная работа предназначена для учителей математики, работающих в классах с низким уровнем математической подготовки и мотивации к изучению математики. Она призвана оказать практическую помощь коллегам в организации повторения по теме «Производная».

    xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

    Смотрите еще:

    • Сколько получают пенсию инвалиды 2 группы Разбираемся, каким должен быть размер минимальной пенсии инвалида 2 группы Сейчас государство разными способами производит помощь социально незащищенным слоям населения. Отдельную заботу проявляют по отношению к инвалидам. В этой статье рассматривается, какой наименьший возможный размер пенсии при […]
    • Как не включать несовершеннолетнего в приватизацию Особенности приватизации с несовершеннолетними детьми Закон о приватизации несколько раз за все время этой кампании изменялся и дополнялся. Поэтому, прописанные там особенности приватизации квартир с несовершеннолетними детьми, существенно отличаются в разные годы. Это породило череду оспариваний […]
    • Wf правила Соблюдение правил игры Напоминаем вам о необходимости соблюдения правил игры. Использование стороннего ПО, позволяющего получать игровые преимущества (а также его реклама), ошибок игры или попытка продажи/передачи аккаунта повлекут за собой бессрочную блокировку вашей учетной записи со всем ее содержимым. […]
    • Общие положения юриста Должностные инструкции в малом и среднем бизнесе (офисы, магазины, кафе, рестораны, гостиницы, клубы и т.д.) Вопрос юристу Статьи Поиск работы Востребованные профессии Администрация Генеральный директор Помощник ген.директора Юрист Инспектор отдела кадров PR-Менеджер Ресторан […]
    • Получение гражданства на новорожденного ребенка Самый лучший сайт для мам о малышах! Все о грудничках и маленьких детях: питание, здоровье, развитие и уход за малышами. Статьи от практикующих педагогов, психологов, врачей и мам. Как и зачем делать гражданство новорожденному ребенку Появление новорожденного – одно из самых радостных событий в жизни […]
    • Выплаты по потере кормильца закон Закон о пенсии по потере кормильца: понятие, порядок назначения, виды Порядок и условия выплаты пенсии по потери кормильца определяются на федеральном уровне, а вот размеры такой помощи могут дополнительно регулироваться региональными властями. Понятие пенсии и ее законодательное регулирование Закон о […]
    • Реквизиты выборгский районный суд Выборгский районный суд города Санкт-Петербург Официальный сайт : Выборгского районного суда http://vbr.spb.sudrf.ru/ Телефоны Выборгского районного суда города Санкт-Петербург: Приемная суда Каб. 102 Тел./факс (812) 247-48-02 (факс) 247-48-48; 247-48-03; 247-48-04 Отдел обеспечения судопроизводства по […]
    • Пособия на приемного ребенка в московской области Выплаты и льготы ⇒ Выплаты приёмным семьям в Москве Модератор: hippo Перейти на страницу: Сообщение Ленточка » 05 окт 2010, 12:38 Сообщение Елена Джемелинская » 05 окт 2010, 14:50 Сообщение Игорь Сергеев » 05 окт 2010, 16:55 Не совсем так. Есть два уровня выплат на приемных детей. 1. Выплаты […]

    Комментарии запрещены.