Закон вращения маятника

Закон вращения маятника

2.3. Свободные колебания. Математический маятник

Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести F τ = – mg sin φ (рис. 2.3.1). Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.

Если обозначить через x линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса l , то его угловое смещение будет равно φ = x / l . Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает:

Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению x , а

Только в случае малых колебаний , когда приближенно можно заменить на математический маятник является гармоническим осциллятором , т. е. системой, способной совершать гармонические колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка 15–20° ; при этом величина отличается от не более чем на 2 % . Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими.

Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде

Таким образом, тангенциальное ускорение a τ маятника пропорционально его смещению x , взятому с обратным знаком. Это как раз то условие, при котором система является гармоническим осциллятором. По общему правилу для всех систем, способных совершать свободные гармонические колебания, модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением из положения равновесия равен квадрату круговой частоты:

Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника .

Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис. 2.3.2). Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс C физического маятника находится ниже оси вращения О на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол φ возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия:

Здесь d – расстояние между осью вращения и центром масс C .

Знак «минус» в этой формуле, как обычно, означает, что момент сил стремится повернуть маятник в направлении, противоположном его отклонению из положения равновесия. Как и в случае математического маятника, возвращающий момент M пропорционален sin φ . Это означает, что только при малых углах φ , когда sin φ ≈ φ , физический маятник способен совершать свободные гармонические колебания. В случае малых колебаний

Здесь ω0 – собственная частота малых колебаний физического маятника .

Более строгий вывод формул для ω0 и T можно сделать, если принять во внимание математическую связь между угловым ускорением и угловым смещением: угловое ускорение ε есть вторая производная углового смещения φ по времени:

Поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для физического маятника, можно записать в виде

Это уравнение свободных гармонических колебаний (см. уравнение (*) §2.2). Коэффициент в этом уравнении имеет смысл квадрата круговой частоты свободных гармонических колебаний физического маятника.

По теореме о параллельном переносе оси вращения (теорема Штейнера) момент инерции I можно выразить через момент инерции I C относительно оси, проходящей через центр масс C маятника и параллельной оси вращения:

Окончательно для круговой частоты ω0 свободных колебаний физического маятника получается выражение:

physics.ru

Проверка основного закона динамики вращения твердого тела с помощью маятника Обербека

Проверка основного закона динамики вращения твердого тела с помощью маятника Обербека.

Оборудование: маятник Обербека, набор грузов, секундомер.

Вращение твердого тела постоянной массы вокруг неподвижной оси описывается уравнением.

(1)

Здесь М — момент сил, действующих на тело, I— момент инерции тела, ω угловая скорость. Это — основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси.

Оно напоминает уравнение Ньютона для материальной точки.

(2)

Роль массы играет момент инерции I, роль скорости V угловая скорость ω, роль силы — момент силы М, роль импульса — момент импульса .

Если момент внешних сил относительно оси вращения равен нулю, то момент импульса остается неизменным:

При М=0 , поэтому =const.

Для замкнутой системы имеет место закон сохранения момента импульса

Всякое твердое тело можно представить как совокупность большого числа частиц элементарного объема ΔVi с массой Δmi.

Моментом инерции тела относительно оси называется величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении вокруг этой оси и равная сумме произведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от той же оси (рис. 1).

(4)

В общем случае моменты инерции находятся интегрированием по всему объему тела

(5)

Момент инерции одного и того же тела различен для разных осей вращения. Он зависит и от направления оси, и от места ее прохождения.

момент инерции диска относительно оси, перпендикулярной к его плоскости, определяется формулой

(6)

момент инерции того же диска относительно оси, совпадающей c диаметром, вычисляется по формуле

(7)

Если момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела, равен I0, то момент инерции относительно любой другой оси, параллельной первой, может быть вычислен на основании теоремы ГЮЙГЕНСА – ШТЕЙШЕРА.

, (8)

где a расстояние между осями.

Тело представляет собой тонкий длинный стержень с сечением любой формы. Максимальный поперечный размер стержня b«l. Момент инерция относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину, равен

(9)

Найти момент инерции стержня относительно оси OO.

На основании теоремы Гюйгенса – Штейнера

Математическая форма записи основных закономерностей для поступательного и вращательного движений остается неизменной. Это удобно проиллюстрировать следующей таблицей.

works.doklad.ru

7.5. Математический и физический маятники

Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, совершающая колебательное движение в одной вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Таким маятником можно считать тяжелый шар массой m, подвешенный на тонкой нити, длина l которой намного больше размеров шара. Если его отклонить на угол α (рис.7.3.) от вертикальной линии, то под влиянием силы F – одной из составляющих веса Р он будет совершать колебания. Другая составляющая , направленная вдоль нити, не учитывается, т.к. уравновешивается силой натяжения нити. При малых углах смещения и, тогда координату х можно отсчитывать по горизонтальному направлению. Из рис.7.3 видно, что составляющая веса, перпендикулярная нити, равна

Момент силы относительно точки О: , и момент инерции:
M = FL .
Момент инерции J в данном случае
Угловое ускорение:

С учетом этих величин имеем:

Его решение
,

Как видим, период колебаний математического маятника зависит от его длины и ускорения силы тяжести и не зависит от амплитуды колебаний.

Физическим маятником называется твердое тело, закрепленное на неподвижной горизонтальной ocи (оси подвеса), не проходящей через центр тяжести, и совершающее колебания относительно этой оси под действием силы тяжести. В отличие от математического маятника массу такого тела нельзя считать точечной.

При небольших углах отклонения α (рис. 7.4) физический маятник так же совершает гармонические колебания. Будем считать, что вес физического маятника приложен к его центру тяжести в точке С. Силой, которая возвращает маятник в положение равновесия, в данном случае будет составляющая силы тяжести – сила F.

Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α

Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения

. Момент силы: определить в явном виде нельзя. С учетом всех величин, входящих в исходное дифференциальное уравнение колебаний физического маятника имеет вид:

physics-lectures.ru

ОБОРУДОВАНИЕ: маятник Обербека, секундомер, штангенциркуль, линейка, набор грузов.

Основные кинематические и динамические параметры вращательного движения:
φ — угловой путь, или угол поворота;
ω = dφ / dt — модуль угловой скорости тела;
ε =dω / dt — модуль углового ускорения тела.
Для произвольной точки вращающегося тела, расположенной на расстоянии r от оси вращения, модуль линейной скорости:

и модуль тангенциального ускорения:

Модуль момента силы натяжения нити, намотанной на шкив радиуса r,

Модуль момента импульса материальной точки массы m, которая движется со скоростью , на расстоянии r от оси вращения:

Для тела с моментом инерции I, вращающегося со скоростью ω, модуль момента импульса:

Момент инерции материальной точки массы m, удалённой от оси вращения на расстояние r, J = m•r2.
Момент инерции тела относительно выбранной оси равен сумме моментов инерции всех N точек тела:

Закон динамики вращательного движения:

Если момент инерции вращающегося тела остаётся постоянным, то закон динамики принимает вид:

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Основной частью установки является крестообразный маятник, который может вращаться с малым трением вокруг оси О (см. рис.1). По стержням крестовины могут перемещаться подвижные цилиндры 3 массой т0. На одной оси с крестовиной насажены шкивы 1 и 2 разного радиуса г. К концу нити, намотанной на один из шкивов и перекинутой через невесомый блок 4, прикрепляется груз 5 массой m, приводящий маятник во вращательное движение. Время прохождения грузом расстояния h измеряют секундомером. Маятник в исходном положении удерживается электромагнитом, при нажатии клавиши «Пуск» секундомера электромагнит отключается, груз начинает двигаться и одновременно включается секундомер. Счёт времени заканчивается при достижении грузом нижнего положения. Для того, чтобы секундомер сработал, необходимо установке с помощью винтов в основании платформы придать такое положение, при котором груз опускался бы точно в отмеченный круг. В этот круг вмонтирован датчик, выключающий секундомер.
Расстояние h отмечается по линейке, установленной в верхней части установки, на которой указывается расстояние груза в начальном положении от основания установки.

ОПИСАНИЕ МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ

Приняв, что нить невесома, не растяжима, считаем движение грузов равноускоренным. Ускорение груза а определяют, измерив время его движения и пройденный путь h:

Угловое ускорение маятника ε выразим через линейное ускорение и радиус шкива r:

Силу натяжения нити Т можно определить, применив к движению груза массой m закон Ньютона (пренебрегая при этом сопротивлением воздуха), так как обычно а « g:

Таким образом, измерив для груза массой m время t прохождения им расстояния h, можно рассчитать угловое ускорение ε (формула 10) маятника и определить момент силы, действующий на маятник:

При вращении маятника на него действует также тормозящий момент сил трения Мтр, и поэтому закон динамики принимает вид:

Это уравнение позволяет найти момент инерции блока J динамическим методом, измерив ряд величин ε и М. Для более точного определения величины J в опыте получают зависимость ε = f(M), линейный характер которой (при Mтр= const позволяет рассчитать среднее значение J по угловому коэффициенту опытной прямой.

ВОПРОСЫ К ДОПУСКУ

1. Дайте определение величины углового ускорения.
2. Что называют моментом силы?
3. Что такое момент импульса тела?
4. Какая величина является моментом инерции материальной точки?
5. Чему равен момент инерции тела?
6. В каких единицах измеряют угловое ускорение, момент силы, момент инерции, момент импульса?
7. Сформулируйте закон динамики вращательного движения
8. Запишите закон динамики вращательного движения.
9. Какое вращение тела называют равноускоренным, каковы его условия?
10. Как направлены векторы ε, М и момент импульса тела L?
11. От чего зависят: а) угловое ускорение маятника, б) момент инерции маятника, в) момент силы, действующий на маятник?
12. Какая зависимость лежит в основе динамического метода измерения момента инерции ?
13. Какие величины определяют наклон прямой на графике ε = f(M)?
14. Как в работе изменяют момент силы?
15. Какие величины в работе измеряют для определения величин ε и М?
16. Как можно изменять момент инерции маятника в данной работе?
17. Запишите закон динамики вращательного движения для случая, когда момент инерции вращающегося тела не изменяется.

1. Опишите метод изучения закона динамики вращательного движения.
2. Чем обусловлена погрешность в этой работе?
3. Для каких целей используются графики?
4. Из каких соображений выбирают для графика размер осей?
5. Что указывают на осях графика?
6. Как выбирают границы интервалов на графиках?
7. Как выбирают масштаб числовых осей графика? Как его указывают?
8. Как проводят экспериментальную кривую на графике?
9. Через какую точку необходимо провести прямую на графике, если зависимость линейная?
10. Как определяют угловой коэффициент линейной зависимости?
11. Как находят случайную погрешность углового коэффициента?
12. Какие источники случайной погрешности приводят к «разбросу» точек на графиках при изучении движения?
13. Прямой круглый однородный конус имеет массу m и радиус основания R. Найти момент инерции конуса относительно его оси.
14. Найти момент инерции однородного куба относительно оси, проходящей через центры противолежащих граней. Масса куба m, длина ребра a.

testent.ru

ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Цель работы: проверить выполнение основного закона динамики вращательного движения, определить момент инерции маятника Обербека.

Оборудование: маятник Обербека, секундомер, грузы.

Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси – это движение, при котором траектории всех точек тела являются концентрическими окружностями, центры которых лежат на линии, являющейся осью вращения. Параметрами вращательного движения тела являются: угловой путь j, то есть угол поворота тела вокруг оси; угловая скорость w = ; и угловое ускорение e = . Это аксиальные векторы, то есть векторы, направленные по оси вращения. Если вращать буравчик вместе с телом, то направление его поступательного движения вдоль оси совпадает с вектором угловой скорости.

Угловое ускорение тела ε, согласно основному закону динамики вращательного движения, прямо пропорционально моменту силы M, действующему на тело,и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси:

. (1)

Момент силы по определению – это вектор, равный векторному произведению радиус-вектора точки приложения силы на вектор
силы: . Величину проекции вектора момента силы на ось вращения можно определить как произведение величины силы на ее плечо:

Плечо силы d – это длина перпендикуляра, опущенного из оси вращения на линию действия силы. Направление вектора момента силы относительно оси также определяется правилом буравчика: это аксиальный вектор, направленный в сторону поступательного движения буравчика под воздействием сил, действующих на ручки.

Момент инерции по определению – это скалярная физическая величина, равная сумме произведений масс частиц тела mi (или dm)на квадраты их расстояний r до оси вращения:

J = å m i r i 2 , или . (3)

Физический смысл момента инерции можно установить по уравнению (1). Это мера инертности тела при вращательном движении. Чем больше момент инерции тела, тем меньше его угловое ускорение при действии того же момента сил. В этом смысле он является аналогом массы, являющейся мерой инертности тела при поступательном движении. Но момент инерции зависит не только от массы, но и от ее распределения. Чем дальше от оси вращения находятся части тела, тем больше момент инерции, тем меньше угловое ускорение, тем медленнее раскручивается или тормозит вращающееся тело.

Изучение закономерностей вращательного движения в работе производится с помощью маятника Обербека (рис.1). Он представляет собой крестовину, которая может вращаться вокруг оси. На спицах крестовины расположены цилиндры. На шкив маятника наматывается нить, на конце которой подвешен груз массы m. Вращение крестовины происходит под воздействием момента силы натяжения нити , где r – радиус шкива, являющийся плечом силы натяжения.

Для подтверждения основного закона динамики вращательного движения (1) следует независимо определить момент силы натяжения нити и угловое ускорение крестовины маятника и убедиться в том, что они пропорциональны друг другу. Коэффициент пропорциональности равен величине, обратной моменту инерции 1/J.

Силу натяжения нити Т12 определим из уравнения второго закона Ньютона для груза, движущегося под действием силы тяжести mg и силы натяжения нити:

Откуда T2 = m (g –a). Тогда момент силы натяжения нити можно рассчитать по формуле M = m (g – a) r. В лабораторной установке ускорение падения груза много меньше ускорения свободного падения, a .

7. Оценить случайную погрешность измерения графическим методом (рис. 2) по формуле

. (8)

8. Записать результат в виде J = ± d J, Р = 0,90. Оценить разумность результата, сравнив его среднее значение по порядку величины с расчетным значением момента инерции четырех цилиндров
Jцил = 4 mцил l 2 . Сделать выводы.

1. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения.

2. Дайте определение момента силы. Чему равен момент силы, действующий на крестовину маятника?

3. Дайте определение момента инерции, каков его физический смысл? От чего зависит момент инерции?

4. Как изменится момент инерции, угловое ускорение крестовины, если цилиндры на спицах сместить ближе к оси?

5. От каких параметров зависит угол наклона экспериментальной линии на графике e ( M)?

6. Как изменится момент силы натяжения и угловое ускорение крестовины при увеличении массы груза в чашке?

studopedia.info

Смотрите еще:

  • Физический закон маятника Механические гармонические колебания Рассмотрим так называемый математический маятник - материальную точку, подвешенную на невесомой нерастяжимой нити и совершающую колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. 1643 - 1727 , или Сравнивая его с дифференциальным уравнением […]
  • Sin cos tg правило Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла. Тригонометрические функции. Синус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Обозначается так: sin α. Косинус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к […]
  • Все законы в c части Все законы в c части ЭНЕРГИИ СОХРАНЕНИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ ЗАКОН - общий закон природы: энергия любой замкнутой системы при всех процессах, происходящих в системе, остается постоянной (сохраняется). Энергия может только превращаться из одной формы в другую и перераспределяться между частями системы. Для […]
  • Правило примеры по частям Основные методы интегрирования Определение интеграла, определенный и неопределенный интеграл, таблица интегралов, формула Ньютона-Лейбница, интегрирование по частям, примеры вычисления интегралов, вычисление интегралов on-line. Неопределенный интеграл Функция F(x), дифференцируемая в данном промежутке X, […]
  • Правила записи выражений на паскале Основы программирования на C++, PASCAL Основы программирования Программирование на JAVA Программирование на C++ Программирование на Pascal Задачи по программированию 3.5. Арифметические операции, функции, выражения. Арифметический оператор присваивания К арифметическим типам данных относятся группы […]
  • Социальная экспертиза цели Учреждения МСЭ, их виды, состав и функции: какие цели преследуют и каково назначение судебной медико социальной экспертизы Из всех государственных задач, призванных решать проблемы социально незащищённых групп населения, особняком стоит деятельность МСЭ. Это первое звено, выделяющее группы граждан, […]
  • Спецсигнал штрафы Ответственность водителя за установку специальных сигналов на автомобиль По закону Российской Федерации специальные звуковые и световые сигналы устанавливаются только на автомобили специальных служб (скорая помощь, полиция, пожарная служба, МЧС, ВАИ), чтобы обозначить их приоритет на дороге и предупредить […]
  • Правила неравенства с модулем Правила неравенства с модулем Абсолютной величиной (модулем) называется функция, которая каждому числу хR ставит в соответствие число Величина |х| равна расстоянию от точки х до начала координат. Пусть х и у — действительные числа. Приведем (в виде формул) свойства модуля. 1) |x|0.2) |x| = 0x = 0.3) |xy| = […]

Комментарии запрещены.